Номер 12.4, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

12.4. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt[4]{80}$;

2) $\sqrt[3]{432}$;

3) $\sqrt[3]{54y^8}$;

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$.

1) $\sqrt[4]{80}$

Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня, разложим подкоренное выражение на множители. Так как степень корня равна 4, нам нужно выделить множители, являющиеся четвертой степенью какого-либо числа.

Разложим число 80 на множители: $80 = 16 \times 5 = 2^4 \times 5$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[4]{80} = \sqrt[4]{2^4 \times 5}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \times 5} = \sqrt[4]{2^4} \times \sqrt[4]{5} = 2\sqrt[4]{5}$

Ответ: $2\sqrt[4]{5}$.

2) $\sqrt[3]{432}$

Степень корня равна 3. Разложим число 432 на множители, выделяя кубы чисел.

Разложим 432 на простые множители: $432 = 2 \times 216 = 2 \times 6^3$. Также можно разложить по шагам: $432 = 2^4 \times 3^3 = (2^3 \times 3^3) \times 2 = (2 \times 3)^3 \times 2 = 6^3 \times 2$.

Подставим разложение в выражение:

$\sqrt[3]{432} = \sqrt[3]{6^3 \times 2}$

Выносим множитель из-под знака корня:

$\sqrt[3]{6^3 \times 2} = \sqrt[3]{6^3} \times \sqrt[3]{2} = 6\sqrt[3]{2}$

Ответ: $6\sqrt[3]{2}$.

3) $\sqrt[3]{54y^8}$

Степень корня равна 3. Разложим на множители числовой коэффициент и переменную, выделяя множители в третьей степени.

Разложим число 54: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.

Представим $y^8$ в виде произведения, где один из множителей имеет степень, кратную 3: $y^8 = y^{6+2} = y^6 \times y^2 = (y^2)^3 \times y^2$.

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{54y^8} = \sqrt[3]{(3^3 \times 2) \times ((y^2)^3 \times y^2)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot (y^2)^3 \cdot 2y^2}$

Выносим множители, являющиеся кубами, из-под знака корня:

$\sqrt[3]{3^3} \times \sqrt[3]{(y^2)^3} \times \sqrt[3]{2y^2} = 3 \cdot y^2 \cdot \sqrt[3]{2y^2} = 3y^2\sqrt[3]{2y^2}$

Ответ: $3y^2\sqrt[3]{2y^2}$.

4) $\sqrt[4]{243b^9c^{18}}$

Степень корня равна 4. Разложим на множители число 243 и степени переменных $b^9$ и $c^{18}$, выделяя четвертые степени.

Разложение числового коэффициента: $243 = 81 \times 3 = 3^4 \times 3$.

Разложение переменных:

$b^9 = b^8 \times b = (b^2)^4 \times b$

$c^{18} = c^{16} \times c^2 = (c^4)^4 \times c^2$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{243b^9c^{18}} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot 3) \cdot ((b^2)^4 \cdot b) \cdot ((c^4)^4 \cdot c^2)}$

Сгруппируем множители, которые можно вынести из-под корня:

$\sqrt[4]{(3^4 \cdot (b^2)^4 \cdot (c^4)^4) \cdot (3 \cdot b \cdot c^2)}$

Вынесем множители из-под знака корня. Так как корень четной степени, при извлечении корня из выражения в четной степени используется модуль: $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$.

$\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(b^2)^4} \cdot \sqrt[4]{(c^4)^4} \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = |3| \cdot |b^2| \cdot |c^4| \cdot \sqrt[4]{3bc^2}$

Так как $3>0$, $b^2 \ge 0$ и $c^4 \ge 0$, то их модули равны самим выражениям:

$3 \cdot b^2 \cdot c^4 \cdot \sqrt[4]{3bc^2} = 3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$

(Заметим, что для существования исходного выражения необходимо, чтобы $243b^9c^{18} \ge 0$, что при $c \ne 0$ требует $b^9 \ge 0$, то есть $b \ge 0$.)

Ответ: $3b^2c^4\sqrt[4]{3bc^2}$.