Номер 11.31, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.31. Найдите целую часть числа $\sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \dots + \sqrt[4]{14}}}}$.

200 радикалов

Обозначим искомое число через $A$: $A = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14 + \dots + \sqrt[4]{14}}}}$, где выражение содержит 200 знаков радикала.

Для нахождения целой части числа $A$, нам нужно найти два последовательных целых числа, между которыми оно находится.

Рассмотрим числовую последовательность $\{a_n\}$, определенную рекуррентно: $a_1 = \sqrt[4]{14}$ $a_{n+1} = \sqrt[4]{14 + a_n}$ для $n \ge 1$.

Искомое число $A$ является 200-м членом этой последовательности, то есть $A = a_{200}$.

Оценка сверху

Докажем методом математической индукции, что $a_n < 2$ для всех натуральных $n$.

База индукции ($n=1$): $a_1 = \sqrt[4]{14}$. Поскольку $2^4 = 16$, а $14 < 16$, то $a_1 = \sqrt[4]{14} < \sqrt[4]{16} = 2$. Утверждение верно.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k$ выполняется неравенство $a_k < 2$. Докажем, что из этого следует $a_{k+1} < 2$. $a_{k+1} = \sqrt[4]{14 + a_k}$. Так как по предположению $a_k < 2$, то $14 + a_k < 14 + 2 = 16$. Следовательно, $a_{k+1} = \sqrt[4]{14 + a_k} < \sqrt[4]{16} = 2$. Шаг индукции доказан.

Таким образом, мы доказали, что $a_n < 2$ для всех $n \ge 1$. В частности, $A = a_{200} < 2$.

Оценка снизу

Сначала найдем значение первого члена последовательности. $a_1 = \sqrt[4]{14}$. Поскольку $1^4 = 1$, а $14 > 1$, то $a_1 = \sqrt[4]{14} > \sqrt[4]{1} = 1$.

Теперь докажем, что последовательность $\{a_n\}$ является возрастающей, т.е. $a_{n+1} > a_n$ для всех $n \ge 1$. Мы можем сделать это также с помощью индукции.

База индукции ($n=1$): $a_2 = \sqrt[4]{14 + a_1} = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}}$. Так как $\sqrt[4]{14} > 0$, то $14 + \sqrt[4]{14} > 14$. Отсюда $a_2 = \sqrt[4]{14 + \sqrt[4]{14}} > \sqrt[4]{14} = a_1$. Утверждение верно.

Шаг индукции: Предположим, что для некоторого натурального $k>1$ выполняется неравенство $a_k > a_{k-1}$. Тогда $14 + a_k > 14 + a_{k-1}$. Поскольку функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей для $x>0$, то $\sqrt[4]{14 + a_k} > \sqrt[4]{14 + a_{k-1}}$. Это означает, что $a_{k+1} > a_k$. Шаг индукции доказан.

Так как $a_1 > 1$ и последовательность $\{a_n\}$ строго возрастающая, то $A = a_{200} > a_{199} > \dots > a_1 > 1$. Следовательно, $A > 1$.

Заключение

Мы получили двойное неравенство для числа $A$: $1 < A < 2$.

Это означает, что число $A$ находится строго между 1 и 2. Целая часть числа — это наибольшее целое, не превосходящее само число. Для $A$ из интервала $(1, 2)$ целая часть равна 1.

Ответ: 1