Номер 11.25, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.25. В зависимости от значения параметра a определите количество корней уравнения:

1) $(x+1)\sqrt[4]{x-a}=0;$

2) $(x-1)(\sqrt[4]{x}-a)=0.$

1) $(x+1)\sqrt[4]{x-a} = 0$

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Следовательно, уравнение равносильно совокупности:

$\left[ \begin{array}{l} x+1=0, \\ \sqrt[4]{x-a}=0 \end{array} \right.$

при условии $x \ge a$.

Из совокупности получаем два потенциальных корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = a$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x \ge a$).

Для корня $x_2 = a$: подставляем в условие ОДЗ, получаем $a \ge a$. Это верное неравенство при любом значении $a$. Значит, $x=a$ является корнем уравнения при любом $a$.

Для корня $x_1 = -1$: подставляем в условие ОДЗ, получаем $-1 \ge a$, или $a \le -1$. Этот корень существует только при выполнении данного условия.

Теперь определим количество различных корней в зависимости от $a$.

Если $a < -1$, условие $a \le -1$ выполняется. Уравнение имеет два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = a$. Так как $a \ne -1$, корни различны. Итого, 2 корня.

Если $a = -1$, условие $a \le -1$ выполняется. Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = a = -1$. Корни совпадают. Итого, 1 корень.

Если $a > -1$, условие $a \le -1$ не выполняется. Корень $x_1 = -1$ является посторонним. Единственный корень — $x_2 = a$. Итого, 1 корень.

Объединим случаи, когда корень один: это происходит при $a = -1$ и при $a > -1$, то есть при $a \ge -1$.

Ответ: если $a < -1$, то 2 корня; если $a \ge -1$, то 1 корень.

2) $(x-1)(\sqrt[4]{x}-a) = 0$

Решение:

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \ge 0$.

Уравнение распадается на совокупность двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} x-1=0, \\ \sqrt[4]{x}-a=0 \end{array} \right.$

при условии $x \ge 0$.

Первое уравнение $x-1=0$ дает корень $x_1=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, $x=1$ является корнем исходного уравнения при любом $a$.

Второе уравнение $\sqrt[4]{x}=a$.

Если $a < 0$, это уравнение не имеет решений, так как арифметический корень $\sqrt[4]{x}$ по определению неотрицателен. В этом случае у исходного уравнения только один корень: $x=1$.

Если $a \ge 0$, уравнение $\sqrt[4]{x}=a$ имеет единственный корень $x_2=a^4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $a^4 \ge 0$.

Таким образом, при $a \ge 0$ уравнение имеет корни $x_1=1$ и $x_2=a^4$. Определим, когда они совпадают: $a^4 = 1$. Так как $a \ge 0$, получаем $a=1$.

Рассмотрим количество корней для разных значений $a$.

Если $a < 0$: есть только один корень $x=1$. Итого, 1 корень.

Если $a \ge 0$ и $a \ne 1$ (т.е. $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$): есть два различных корня $x_1=1$ и $x_2=a^4$. Итого, 2 корня.

Если $a=1$: корни $x_1=1$ и $x_2=1^4=1$ совпадают. Итого, 1 корень.

Объединим случаи, когда корень один: это происходит при $a < 0$ и при $a=1$.

Ответ: если $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$, то 1 корень; если $a \in [0, 1) \cup (1, +\infty)$, то 2 корня.