Номер 11.27, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.27. Решите уравнение $\sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} = 3$.

Данное уравнение: $ \sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} = 3 $.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $ x+6 \ge 0 $, откуда $ x \ge -6 $.

Для решения уравнения введем замены. Пусть $ a = \sqrt[3]{x-9} $ и $ b = \sqrt[4]{x+6} $. Так как корень четвертой степени является арифметическим, то $ b \ge 0 $.

Исходное уравнение примет вид: $ a+b=3 $.

Выразим $x$ из каждой замены:
Из $ a = \sqrt[3]{x-9} $ следует $ a^3 = x-9 $, то есть $ x = a^3+9 $.
Из $ b = \sqrt[4]{x+6} $ следует $ b^4 = x+6 $, то есть $ x = b^4-6 $.

Приравнивая выражения для $x$, получаем второе уравнение для связи $a$ и $b$:
$ a^3+9 = b^4-6 $
$ a^3 - b^4 + 15 = 0 $.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
$ \begin{cases} a+b=3 \\ a^3 - b^4 + 15 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $ a = 3-b $ и подставим во второе уравнение:
$ (3-b)^3 - b^4 + 15 = 0 $

Раскроем скобки:
$ (27 - 27b + 9b^2 - b^3) - b^4 + 15 = 0 $
$ -b^4 - b^3 + 9b^2 - 27b + 42 = 0 $
Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид полинома:
$ b^4 + b^3 - 9b^2 + 27b - 42 = 0 $

Это полиномиальное уравнение четвертой степени. Попробуем найти его целые корни среди делителей свободного члена (-42). Учитывая условие $ b \ge 0 $, проверяем только положительные делители.
Проверим $ b=1 $: $ 1^4 + 1^3 - 9(1)^2 + 27(1) - 42 = 1+1-9+27-42 = -22 \ne 0 $.
Проверим $ b=2 $: $ 2^4 + 2^3 - 9(2)^2 + 27(2) - 42 = 16+8-36+54-42 = 24-36+54-42 = -12+12=0 $.
Таким образом, $ b=2 $ является корнем уравнения.

Найдем соответствующее значение $x$:
$ b = \sqrt[4]{x+6} \implies 2 = \sqrt[4]{x+6} \implies 2^4 = x+6 \implies 16 = x+6 \implies x=10 $.

Проверим, удовлетворяет ли $ x=10 $ ОДЗ ($x \ge -6$): $ 10 \ge -6 $, условие выполнено.

Выполним проверку, подставив $ x=10 $ в исходное уравнение:
$ \sqrt[3]{10-9} + \sqrt[4]{10+6} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[4]{16} = 1+2 = 3 $.
$ 3=3 $. Равенство верное, значит $ x=10 $ является решением.

Чтобы доказать, что это единственное решение, рассмотрим функцию $ f(x) = \sqrt[3]{x-9} + \sqrt[4]{x+6} $.
Эта функция определена на луче $ [-6, +\infty) $. Найдем ее производную:
$ f'(x) = (\sqrt[3]{x-9})' + (\sqrt[4]{x+6})' = ((x-9)^{1/3})' + ((x+6)^{1/4})' $
$ f'(x) = \frac{1}{3}(x-9)^{-2/3} + \frac{1}{4}(x+6)^{-3/4} = \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-9)^2}} + \frac{1}{4\sqrt[4]{(x+6)^3}} $.

Производная существует для $ x > -6 $ и $ x \ne 9 $.
В области определения производной оба слагаемых положительны: $ \frac{1}{3\sqrt[3]{(x-9)^2}} > 0 $ и $ \frac{1}{4\sqrt[4]{(x+6)^3}} > 0 $.
Следовательно, $ f'(x) > 0 $ для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей своей области определения $ [-6, +\infty) $.

Строго возрастающая функция может принимать каждое свое значение только один раз. Поэтому уравнение $ f(x)=3 $ может иметь не более одного корня.
Так как мы уже нашли корень $ x=10 $, он и является единственным решением.

Ответ: 10.