Номер 11.29, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.29. Решите систему уравнений

$\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}, \\ x^2 + y^2 = 2. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$\begin{cases} x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y} \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы: $x + \sqrt[5]{x} = y + \sqrt[5]{y}$.

Введем функцию $f(t) = t + \sqrt[5]{t}$. Тогда первое уравнение можно записать в виде $f(x) = f(y)$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции $f(t)$:

$f'(t) = (t + t^{1/5})' = 1 + \frac{1}{5}t^{-4/5} = 1 + \frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$

Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, то и $\sqrt[5]{t^4} \ge 0$. Выражение $\sqrt[5]{t^4}$ обращается в ноль только при $t=0$.

Следовательно, для всех $t \ne 0$, знаменатель $5\sqrt[5]{t^4}$ строго положителен. Тогда и вся дробь $\frac{1}{5\sqrt[5]{t^4}}$ будет строго положительной.

Таким образом, $f'(t) = 1 + (\text{положительное число}) > 1 > 0$ для всех $t \ne 0$.

Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения (поскольку она непрерывна в точке $t=0$, она строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$).

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $x = y$.

Теперь мы можем подставить $y = x$ во второе уравнение системы:

$x^2 + y^2 = 2$

$x^2 + x^2 = 2$

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Так как $y = x$, находим соответствующие значения для $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 1$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$.

Таким образом, система имеет два решения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Выполним проверку найденных решений.

Для пары $(1, 1)$:

$\begin{cases} 1 + \sqrt[5]{1} = 1 + \sqrt[5]{1} \\ 1^2 + 1^2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 1 + 1 = 1 + 1 \\ 1 + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 = 2 \\ 2 = 2 \end{cases}$

Решение верное.

Для пары $(-1, -1)$:

$\begin{cases} -1 + \sqrt[5]{-1} = -1 + \sqrt[5]{-1} \\ (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -1 - 1 = -1 - 1 \\ 1 + 1 = 2 \end{cases} \implies \begin{cases} -2 = -2 \\ 2 = 2 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.