Номер 11.33, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.33. Решите уравнение $x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x-2}$.

Для решения уравнения $x^3 + 2 = 3\sqrt[3]{3x - 2}$ удобно использовать метод введения новой переменной.

Пусть $y = \sqrt[3]{3x - 2}$. Возведя обе части этого равенства в куб, мы получим $y^3 = 3x - 2$.

Теперь подставим $y$ в исходное уравнение, что даст нам $x^3 + 2 = 3y$.

В результате мы получили систему двух симметричных уравнений:

$\begin{cases} x^3 + 2 = 3y \\ y^3 + 2 = 3x \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 + 2) - (y^3 + 2) = 3y - 3x$

$x^3 - y^3 = -3(x - y)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и разложим на множители, используя формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$x^3 - y^3 + 3(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 3(x - y) = 0$

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 + 3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: $x - y = 0$

Из этого равенства следует, что $x = y$. Подставим это в уравнение $y = \sqrt[3]{3x - 2}$:

$x = \sqrt[3]{3x - 2}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$x^3 = 3x - 2$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Его целые корни могут быть среди делителей свободного члена 2, то есть $\pm1, \pm2$. Проверим их:

При $x = 1$: $1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Следовательно, $x=1$ является корнем.

При $x = -2$: $(-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Следовательно, $x=-2$ является корнем.

Разложим многочлен на множители:

$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2) = (x-1)(x-1)(x+2) = (x-1)^2(x+2)$.

Уравнение $(x-1)^2(x+2) = 0$ имеет корни $x = 1$ и $x = -2$.

Случай 2: $x^2 + xy + y^2 + 3 = 0$

Рассмотрим левую часть этого уравнения. Ее можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$x^2 + xy + y^2 + 3 = (x^2 + xy + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2 + 3 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 3$.

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы имеем $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}y^2 \ge 0$.

Следовательно, вся сумма $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4}y^2 + 3 \ge 0 + 0 + 3 = 3$.

Поскольку левая часть выражения всегда больше или равна 3, она никогда не может быть равна 0. Таким образом, в этом случае уравнение не имеет действительных решений.

Объединив результаты анализа обоих случаев, мы заключаем, что решениями исходного уравнения являются только те значения, которые были найдены в первом случае.

Ответ: $x=1, x=-2$.