Номер 11.32, страница 94 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.32. Решите уравнение $x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x-1}$.

11.32.

Дано уравнение:

$x^3 + 1 = 2 \sqrt[3]{2x - 1}$

Для решения этого уравнения введем замену. Пусть $y = \sqrt[3]{2x - 1}$.

Возведя обе части этого равенства в куб, получим $y^3 = 2x - 1$, или $y^3 + 1 = 2x$.

Подставим $y$ в исходное уравнение: $x^3 + 1 = 2y$.

Таким образом, мы получили систему из двух симметричных уравнений:

$\begin{cases} x^3 + 1 = 2y \\ y^3 + 1 = 2x \end{cases}$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^3 + 1) - (y^3 + 1) = 2y - 2x$

$x^3 - y^3 = -2(x - y)$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^3 - y^3 + 2(x - y) = 0$

Разложим разность кубов на множители:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 2(x - y) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^2 + xy + y^2 + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $x - y = 0 \implies x = y$.

2) $x^2 + xy + y^2 + 2 = 0$.

Рассмотрим второй случай. Преобразуем выражение в левой части, выделив полный квадрат:

$x^2 + xy + y^2 + 2 = (x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{y}{2} + \frac{y^2}{4}) - \frac{y^2}{4} + y^2 + 2 = (x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2$.

Выражение $(x + \frac{y}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3y^2}{4} \ge 0$ для любых действительных $x$ и $y$.

Следовательно, сумма $(x + \frac{y}{2})^2 + \frac{3y^2}{4} + 2 \ge 2$, и она никогда не может быть равна нулю.

Таким образом, уравнение $x^2 + xy + y^2 + 2 = 0$ не имеет действительных решений.

Остается рассмотреть только первый случай: $x = y$.

Подставим $y = x$ в любое из уравнений системы, например, в первое $x^3 + 1 = 2y$:

$x^3 + 1 = 2x$

$x^3 - 2x + 1 = 0$

Это кубическое уравнение. Найдем его корни. Заметим, что сумма коэффициентов $1 - 2 + 1 = 0$, следовательно, $x = 1$ является корнем уравнения.

Разделим многочлен $x^3 - 2x + 1$ на $(x - 1)$ "уголком" или по схеме Горнера, чтобы найти остальные корни.

$(x^3 - 2x + 1) : (x - 1) = x^2 + x - 1$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x^2 + x - 1) = 0$

Теперь решим два уравнения:

а) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$.

б) $x^2 + x - 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$.

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Отсюда получаем еще два корня: $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ и $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.

Все проведенные преобразования были равносильными, поэтому все найденные значения $x$ являются корнями исходного уравнения.

Ответ: $1; \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$.