Номер 11.26, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.26. Решите уравнение $ \sqrt[4]{x-26} + \sqrt[3]{x} = 4 $.

Для решения уравнения $\sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x} = 4$ воспользуемся методом введения новых переменных.

Пусть $a = \sqrt[4]{x - 26}$ и $b = \sqrt[3]{x}$. Поскольку корень четвертой степени является арифметическим, должно выполняться условие $a \ge 0$.

С учетом введенных обозначений исходное уравнение принимает вид: $a + b = 4$.

Теперь выразим $x$ из каждого равенства, определяющего новые переменные:

Из $a = \sqrt[4]{x - 26}$ следует $a^4 = x - 26$, откуда $x = a^4 + 26$.

Из $b = \sqrt[3]{x}$ следует $b^3 = x$.

Приравнивая выражения для $x$, получаем второе уравнение, связывающее переменные $a$ и $b$: $a^4 + 26 = b^3$.

Таким образом, мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 4 \\ a^4 + 26 = b^3 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $b$ через $a$: $b = 4 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$a^4 + 26 = (4 - a)^3$

Раскроем куб разности в правой части:

$a^4 + 26 = 4^3 - 3 \cdot 4^2 \cdot a + 3 \cdot 4 \cdot a^2 - a^3$

$a^4 + 26 = 64 - 48a + 12a^2 - a^3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$a^4 + a^3 - 12a^2 + 48a + 26 - 64 = 0$

$a^4 + a^3 - 12a^2 + 48a - 38 = 0$

Мы получили уравнение четвертой степени относительно $a$. Попробуем найти его рациональные корни. Согласно теореме о рациональных корнях, если они существуют, то находятся среди делителей свободного члена (-38). Делители числа 38: $\pm1, \pm2, \pm19, \pm38$.

Проверим, является ли $a = 1$ корнем:

$1^4 + 1^3 - 12(1)^2 + 48(1) - 38 = 1 + 1 - 12 + 48 - 38 = 50 - 50 = 0$.

Равенство верное, значит $a = 1$ — корень уравнения. Этот корень удовлетворяет условию $a \ge 0$.

Теперь найдем соответствующее значение $b$:

$b = 4 - a = 4 - 1 = 3$.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$. Используем, например, равенство $x = b^3$:

$x = 3^3 = 27$.

Проверим найденное значение, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt[4]{27 - 26} + \sqrt[3]{27} = \sqrt[4]{1} + 3 = 1 + 3 = 4$.

$4 = 4$.

Решение найдено верно.

Чтобы убедиться, что это решение единственное, можно проанализировать функцию $f(x) = \sqrt[4]{x - 26} + \sqrt[3]{x}$. Область определения функции задается условием $x - 26 \ge 0$, то есть $x \in [26, +\infty)$. Производная функции $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{(x - 26)^3}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ положительна для всех $x > 26$. Это значит, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция принимает каждое свое значение ровно один раз, поэтому уравнение $f(x) = 4$ имеет не более одного корня. Так как мы нашли корень $x = 27$, он и является единственным решением.

Ответ: $27$.