Номер 11.21, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.21. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ на промежутке:

1) $[2; 3];$

2) $[-2; 1];$

3) $(-\infty; 2).$

1) [2; 3]

На промежутке $[2; 3]$ выполняется условие $x > 0$, поэтому функция принимает вид $f(x) = \sqrt[3]{x}$.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на замкнутом промежутке $[2; 3]$ наименьшее значение достигается в его левой границе, а наибольшее — в правой.

Наименьшее значение: $f(2) = \sqrt[3]{2}$.

Наибольшее значение: $f(3) = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt[3]{2}$, наибольшее значение $\sqrt[3]{3}$.

2) [-2; 1]

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке, необходимо вычислить её значения на концах промежутка и в точках экстремума, принадлежащих этому промежутку.

Функция $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ имеет точку минимума при $x=0$, так как при $x<0$ она убывает, а при $x>0$ — возрастает. Точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-2; 1]$.

Вычислим значения функции в точках $x=-2$, $x=1$ и $x=0$:

$f(-2) = \sqrt[3]{|-2|} = \sqrt[3]{2}$

$f(1) = \sqrt[3]{|1|} = 1$

$f(0) = \sqrt[3]{|0|} = 0$

Сравним полученные значения: $0$, $1$ и $\sqrt[3]{2}$. Так как $2 > 1$, то $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1} = 1$.

Следовательно, наименьшее значение равно $0$, а наибольшее — $\sqrt[3]{2}$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $\sqrt[3]{2}$.

3) $(-\infty; 2)$

Промежуток $(-\infty; 2)$ является открытым. Функция $f(x) = \sqrt[3]{|x|}$ неотрицательна для всех $x$, то есть $f(x) \ge 0$. Значение $0$ достигается в точке $x=0$. Поскольку точка $x=0$ принадлежит промежутку $(-\infty; 2)$, то наименьшее значение функции на этом промежутке равно $0$.

Для определения наибольшего значения рассмотрим поведение функции при $x \to -\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{|x|} = +\infty$

Поскольку функция неограниченно возрастает (принимает сколь угодно большие значения) на данном промежутке, она не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшего значения не существует.