Номер 11.17, страница 93 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.17. Решите уравнение:

1) $ (|x| - 3) \sqrt[6]{2 - x} = 0; $

2) $ (x + 2) \sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0. $

1) $(|x| - 3)\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$2 - x \ge 0$

$x \le 2$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; 2]$.

Уравнение равносильно совокупности двух уравнений с учетом ОДЗ:

1. $|x| - 3 = 0$

$|x| = 3$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

2. $\sqrt[6]{2 - x} = 0$

Возведем обе части в шестую степень:

$2 - x = 0$

$x_3 = 2$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \le 2$):

• Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.
• Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет условию $-3 \le 2$, следовательно, является решением уравнения.
• Корень $x_3 = 2$ удовлетворяет условию $2 \le 2$, следовательно, является решением уравнения.

Таким образом, решениями уравнения являются числа -3 и 2.

Ответ: -3; 2.

2) $(x + 2)\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем шестой степени должно быть неотрицательным:

$x^2 + 2x - 3 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$.
Используя теорему Виета (сумма корней равна -2, произведение равно -3), находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Графиком функции $y = x^2 + 2x - 3$ является парабола с ветвями вверх, пересекающая ось абсцисс в точках -3 и 1. Следовательно, неравенство $x^2 + 2x - 3 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом существует. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю:

$x + 2 = 0$

$x_1 = -2$

2. Второй множитель равен нулю:

$\sqrt[6]{x^2 + 2x - 3} = 0$

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Корни этого уравнения мы уже нашли: $x_2 = 1$ и $x_3 = -3$.

Проверим найденные значения на принадлежность ОДЗ ($x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)$):

• Корень $x_1 = -2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-3 < -2 < 1$. Значит, $x = -2$ — посторонний корень.
• Корень $x_2 = 1$ принадлежит ОДЗ.
• Корень $x_3 = -3$ принадлежит ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет два корня: 1 и -3.

Ответ: -3; 1.