Номер 11.12, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.12. Решите уравнение:

1) $x^9 = 10;$ 3) $x^6 = -64;$ 5) $\sqrt[5]{x} = -2;$

2) $x^{10} = 9;$ 4) $\sqrt[4]{x} = -2;$ 6) $\sqrt[4]{3x-2} = 2.$

1) Дано уравнение $x^9 = 10$.

Поскольку показатель степени 9 является нечетным числом, уравнение имеет один действительный корень. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень 9-й степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[9]{10}$

Ответ: $x = \sqrt[9]{10}$.

2) Дано уравнение $x^{10} = 9$.

Поскольку показатель степени 10 является четным числом, а правая часть уравнения (9) положительна, уравнение имеет два действительных корня. Чтобы найти $x$, извлечем корень 10-й степени из обеих частей уравнения.

$x = \pm \sqrt[10]{9}$

Упростим выражение: $\sqrt[10]{9} = \sqrt[10]{3^2} = 3^\frac{2}{10} = 3^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{3}$.

Следовательно, $x = \pm \sqrt[5]{3}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt[5]{3}$.

3) Дано уравнение $x^6 = -64$.

В левой части уравнения стоит переменная в четной степени. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным числом, то есть $x^6 \geq 0$. В правой части уравнения стоит отрицательное число (-64). Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

4) Дано уравнение $\sqrt[4]{x} = -2$.

Выражение $\sqrt[4]{x}$ является арифметическим корнем четвертой (четной) степени. По определению, значение арифметического корня четной степени не может быть отрицательным, то есть $\sqrt[4]{x} \geq 0$. Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

5) Дано уравнение $\sqrt[5]{x} = -2$.

Корень пятой (нечетной) степени может быть отрицательным числом. Для решения возведем обе части уравнения в пятую степень.

$(\sqrt[5]{x})^5 = (-2)^5$

$x = -32$

Ответ: $x = -32$.

6) Дано уравнение $\sqrt[4]{3x-2} = 2$.

Так как корень в уравнении четной степени, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x - 2 \geq 0 \Rightarrow 3x \geq 2 \Rightarrow x \geq \frac{2}{3}$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt[4]{3x-2})^4 = 2^4$

$3x - 2 = 16$

$3x = 18$

$x = 6$

Найденный корень $x = 6$ удовлетворяет ОДЗ ($6 \geq \frac{2}{3}$).

Ответ: $x = 6$.