Номер 11.6, страница 92 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

11.6. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x-2};$

2) $y = \sqrt[6]{x^2-4x+3};$

3) $y = \sqrt[10]{|x|(x-6)}.$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной $x$), при которых функция имеет смысл.

1) $y = \sqrt[4]{x-2}$

Функция определена, если подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае — четвертой степени) неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x - 2 \ge 0$

Перенесем -2 в правую часть неравенства, изменив знак:

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции — это все числа, большие или равные 2.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{x^2 - 4x + 3}$

Подкоренное выражение корня шестой степени (четной) должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4x + 3 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Легко подобрать корни:

$x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Квадратичная функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Значения функции будут неотрицательными на промежутках, расположенных левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства:

$x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$

Это и есть область определения функции.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

3) $y = \sqrt[10]{|x|(x-6)}$

Аналогично предыдущим примерам, выражение под корнем четной (десятой) степени должно быть неотрицательным:

$|x|(x-6) \ge 0$

Выражение $|x|$ всегда неотрицательно ($|x| \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Рассмотрим два случая:

1. Если $x=0$, то $|x|=0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot (0-6) \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Это верное неравенство, значит, $x=0$ входит в область определения.

2. Если $x \ne 0$, то $|x| > 0$. В этом случае мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $|x|$, не меняя знака неравенства:

$x-6 \ge 0$

$x \ge 6$

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что функция определена при $x=0$ или при $x \ge 6$.

Ответ: $D(y) = \{0\} \cup [6; +\infty)$.