Номер 10.10, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.10. Чётным или нечётным является натуральное число $n$ в показателе степени функции $f(x)=x^{-n}$, если:

1) $f(-2) < f(1)$;

2) $f(-2) < f(-1)$;

3) $f(2) < f(1)$?

Дана функция $f(x) = x^{-n} = \frac{1}{x^n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$). Проанализируем каждое условие.

1) $f(-2) < f(1)$

Найдём значения функции в точках -2 и 1: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ $f(1) = 1^{-n} = \frac{1}{1^n} = 1$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{(-2)^n} < 1$

Рассмотрим два случая в зависимости от чётности $n$:

- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число, то $n \ge 2$, следовательно, $2^n \ge 4$. Таким образом, $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{4}$, и неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ всегда верно.

- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-2^n} < 1$, или $-\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное число, $2^n > 0$, значит $-\frac{1}{2^n}$ — отрицательное число. Любое отрицательное число меньше 1, поэтому неравенство всегда верно.

Поскольку неравенство выполняется для любого натурального $n$ (как чётного, так и нечётного), на основании этого условия определить чётность $n$ невозможно.

Ответ: на основании данного условия определить чётность числа $n$ невозможно.

2) $f(-2) < f(-1)$

Найдём значения функции в точках -2 и -1: $f(-2) = (-2)^{-n} = \frac{1}{(-2)^n}$ $f(-1) = (-1)^{-n} = \frac{1}{(-1)^n}$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{(-2)^n} < \frac{1}{(-1)^n}$

Рассмотрим два случая:

- Если $n$ — чётное число, то $(-2)^n = 2^n$ и $(-1)^n = 1$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{2^n} < 1$. Так как $n$ — натуральное чётное число ($n \ge 2$), это неравенство всегда верно.

- Если $n$ — нечётное число, то $(-2)^n = -2^n$ и $(-1)^n = -1$. Неравенство принимает вид $\frac{1}{-2^n} < \frac{1}{-1}$, или $-\frac{1}{2^n} < -1$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $\frac{1}{2^n} > 1$. Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2^n \ge 2$, и, следовательно, $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2}$. Неравенство $\frac{1}{2^n} > 1$ никогда не выполняется.

Таким образом, условие $f(-2) < f(-1)$ выполняется тогда и только тогда, когда $n$ является чётным числом.

Ответ: чётным.

3) $f(2) < f(1)$

Найдём значения функции в точках 2 и 1: $f(2) = 2^{-n} = \frac{1}{2^n}$ $f(1) = 1^{-n} = 1$

Подставим эти значения в неравенство: $\frac{1}{2^n} < 1$

Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2^n \ge 2$. Отсюда следует, что $0 < \frac{1}{2^n} \le \frac{1}{2}$. Неравенство $\frac{1}{2^n} < 1$ выполняется для любого натурального числа $n$, независимо от его чётности.

Следовательно, на основании этого условия определить чётность $n$ невозможно.

Ответ: на основании данного условия определить чётность числа $n$ невозможно.