Номер 10.9, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.9. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} y = x^{-3}, \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} y = x^{-2}, \\ y = x^2 - 2. \end{cases} $

Количество решений системы уравнений равно количеству точек пересечения графиков функций, входящих в систему. Определим это количество, построив эскизы графиков для каждой системы.

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^{-3} \\ y = \frac{1}{8}x^2 - 4 \end{cases} $$

Нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-3}$ и $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$.

1. График функции $y = x^{-3}$ или $y = \frac{1}{x^3}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами.

2. График функции $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.

Проанализируем пересечение графиков:

• При $x > 0$ (в I четверти): ветвь гиперболы $y = x^{-3}$ убывает от $+\infty$ до $0$. Парабола $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ возрастает от значения $y > -4$. Поскольку убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза, а также учитывая, что при $x \to 0^+$ гипербола находится "выше" параболы, а при $x \to +\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а гипербола стремится к 0, графики обязательно пересекутся. Таким образом, при $x > 0$ есть одна точка пересечения.
• При $x < 0$ (в III четверти): ветвь гиперболы $y = x^{-3}$ убывает от $0$ до $-\infty$. Парабола $y = \frac{1}{8}x^2 - 4$ сначала убывает до своей вершины $(0,-4)$, а затем возрастает. При $x \to 0^-$ парабола стремится к $-4$, а гипербола к $-\infty$, значит, вблизи оси $y$ парабола находится выше гиперболы. При $x \to -\infty$ парабола уходит в $+\infty$, а гипербола стремится к $0$, что означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ парабола также находится выше гиперболы (в II четверти, где $y>0$, в то время как гипербола в III, где $y<0$). Однако, можно показать, что между этими областями парабола "ныряет" под гиперболу. Например, в точке $x = -2$, $y_{параболы} = \frac{1}{8}(-2)^2 - 4 = -3.5$, а $y_{гиперболы} = (-2)^{-3} = -0.125$. Здесь гипербола выше. Так как парабола непрерывна и оказывается то выше, то ниже гиперболы, она пересекает ее дважды. Таким образом, при $x < 0$ есть две точки пересечения.

Суммарное количество точек пересечения: $1 + 2 = 3$.

Ответ: 3

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^{-2} \\ y = x^2 - 2 \end{cases} $$

Нужно найти количество точек пересечения графиков функций $y = x^{-2}$ и $y = x^2 - 2$.

1. График функции $y = x^{-2}$ или $y = \frac{1}{x^2}$ расположен в I и II координатных четвертях, так как $y$ всегда положителен. Функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Оси координат являются асимптотами.

2. График функции $y = x^2 - 2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -2)$. Эта функция также четная и ее график симметричен относительно оси ординат.

Поскольку обе функции четные, их графики симметричны относительно оси $y$. Это означает, что если есть точка пересечения с абсциссой $x_0$, то обязательно будет и точка пересечения с абсциссой $-x_0$. Поэтому достаточно рассмотреть случай $x > 0$ (I четверть).

• При $x > 0$: график $y = \frac{1}{x^2}$ является убывающей функцией. График $y = x^2 - 2$ является возрастающей функцией. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. При $x \to 0^+$, $y = \frac{1}{x^2} \to +\infty$, а $y = x^2 - 2 \to -2$. При $x \to +\infty$, $y = \frac{1}{x^2} \to 0$, а $y = x^2 - 2 \to +\infty$. Так как один график начинается "выше", а заканчивает "ниже" другого, они обязательно пересекутся ровно один раз.

Итак, при $x > 0$ есть одна точка пересечения. В силу симметрии, при $x < 0$ также будет одна точка пересечения. Всего получаем $1 + 1 = 2$ точки пересечения.

Ответ: 2