Номер 10.3, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.3. Найдите область определения функции:

1) $y = (x^{-1})^{-1}$;

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$.

1) $y = (x^{-1})^{-1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл.

Данная функция является сложной. Для нахождения области определения нужно учесть все ограничения, накладываемые операциями в выражении.

Рассмотрим внутреннюю операцию: $x^{-1}$. Это выражение по определению равно $\frac{1}{x}$. Деление на ноль не определено, поэтому знаменатель не может быть равен нулю. Отсюда получаем первое условие:

$x \neq 0$

Теперь рассмотрим внешнюю операцию: возведение результата, то есть $x^{-1}$, в степень $-1$. Обозначим $u = x^{-1}$. Тогда функция примет вид $y = u^{-1}$, что равно $\frac{1}{u}$. Это выражение не определено, если $u = 0$. Отсюда получаем второе условие:

$u \neq 0$, или $x^{-1} \neq 0$.

Выражение $\frac{1}{x}$ равно нулю только в том случае, если числитель равен нулю. Так как числитель равен 1, то выражение $\frac{1}{x}$ никогда не равно нулю. Поэтому второе условие не накладывает новых ограничений на $x$.

Единственным ограничением является $x \neq 0$. Следует заметить, что хотя формальное упрощение выражения дает $y = (x^{-1})^{-1} = x^{(-1) \cdot (-1)} = x^1 = x$, область определения функции находится по ее исходной, неупрощенной форме. Поскольку в исходной форме присутствует операция $x^{-1}$, которая не определена при $x=0$, это значение должно быть исключено из области определения.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = ((x - 2)^{-2})^{-2}$

Для нахождения области определения этой функции проанализируем последовательно все операции.

1. Самое внутреннее выражение — это $x-2$. Оно определено для любого действительного числа $x$.

2. Следующая операция — возведение выражения $(x-2)$ в степень $-2$. Выражение $(x-2)^{-2}$ эквивалентно $\frac{1}{(x-2)^2}$. Эта операция определена только в том случае, если знаменатель не равен нулю:

$(x-2)^2 \neq 0$

Из этого следует, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

3. Внешняя операция — возведение результата в степень $-2$. Обозначим $v = (x-2)^{-2}$. Тогда функция примет вид $y = v^{-2}$, что эквивалентно $\frac{1}{v^2}$. Эта операция определена, если знаменатель $v^2$ не равен нулю, что означает $v \neq 0$.

Подставим обратно выражение для $v$:

$(x-2)^{-2} \neq 0$

$\frac{1}{(x-2)^2} \neq 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 1, поэтому дробь никогда не может быть равна нулю. Следовательно, это условие выполняется для всех $x$, при которых выражение определено (то есть при $x \neq 2$).

Таким образом, единственное ограничение на переменную $x$ — это $x \neq 2$. Несмотря на то, что выражение можно упростить до $y = ((x-2)^{-2})^{-2} = (x-2)^{(-2) \cdot (-2)} = (x-2)^4$, и полученный многочлен определен при любом $x$, область определения исходной функции должна учитывать все промежуточные вычисления. Операция $(x-2)^{-2}$ не определена при $x=2$, поэтому это значение должно быть исключено.

Область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.