Номер 9.12, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке $[-1; a]$, где $a > -1$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на промежутке $[-1, a]$, где $a > -1$, найдём её производную и критические точки.

Производная функции: $f'(x) = (x^8)' = 8x^7$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $8x^7 = 0$, откуда $x = 0$. Это единственная критическая точка функции.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на замкнутом промежутке достигаются либо в критических точках, принадлежащих этому промежутку, либо на его концах. Вычислим значения функции в точках $x=-1$, $x=a$ и в критической точке $x=0$.

$f(-1) = (-1)^8 = 1$

$f(0) = 0^8 = 0$

$f(a) = a^8$

Решение зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая в зависимости от того, входит ли критическая точка $x=0$ в рассматриваемый промежуток $[-1, a]$.

1. Если $-1 < a < 0$.
В этом случае критическая точка $x=0$ не принадлежит промежутку $[-1, a]$. Следовательно, для нахождения экстремумов нужно сравнить значения функции только на концах промежутка: $f(-1)=1$ и $f(a)=a^8$. На промежутке $[-1, 0)$ функция $f(x)=x^8$ является убывающей. Таким образом, наименьшее значение на отрезке $[-1, a]$ равно $f(a)=a^8$, а наибольшее — $f(-1)=1$.

2. Если $a \ge 0$.
В этом случае критическая точка $x=0$ принадлежит промежутку $[-1, a]$. Необходимо сравнить три значения: $f(-1)=1$, $f(0)=0$ и $f(a)=a^8$.
Наименьшее значение равно $f(0)=0$, поскольку $f(x) = x^8 \ge 0$ для всех действительных $x$, и точка $x=0$ принадлежит промежутку.
Наибольшее значение равно $\max(f(-1), f(a)) = \max(1, a^8)$. Его значение зависит от $a$:
- Если $0 \le a \le 1$, то $a^8 \le 1$, и наибольшее значение равно $1$.
- Если $a > 1$, то $a^8 > 1$, и наибольшее значение равно $a^8$.

Ответ:
Наименьшее значение функции:
если $-1 < a < 0$, то наименьшее значение равно $a^8$;
если $a \ge 0$, то наименьшее значение равно $0$.
Наибольшее значение функции:
если $-1 < a \le 1$, то наибольшее значение равно $1$;
если $a > 1$, то наибольшее значение равно $a^8$.