Номер 9.6, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.6. Постройте график функции:

1) $y = |x|x^3;$

2) $y = |x|x^4 - x^5.$

1) $y = |x|x^3$

Для построения графика функции, содержащей модуль, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. По определению модуля числа:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Разобьем нашу функцию на два случая:

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:
$y = x \cdot x^3 = x^4$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:
$y = (-x) \cdot x^3 = -x^4$.

Таким образом, для построения графика нам нужно построить график функции $y = x^4$ для всех неотрицательных $x$ и график функции $y = -x^4$ для всех отрицательных $x$.

График $y = x^4$ при $x \ge 0$ — это ветвь кривой, проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 16)$.

График $y = -x^4$ при $x < 0$ — это ветвь кривой, проходящая через точки $(-1, -(-1)^4) = (-1, -1)$, $(-2, -(-2)^4) = (-2, -16)$.

Объединяя эти две части, получаем итоговый график.

Ответ: График функции $y = |x|x^3$ представляет собой объединение графика функции $y = x^4$ на промежутке $[0, +\infty)$ и графика функции $y = -x^4$ на промежутке $(-\infty, 0)$.

2) $y = |x|x^4 - x^5$

Аналогично предыдущему пункту, раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Тогда функция принимает вид:
$y = x \cdot x^4 - x^5 = x^5 - x^5 = 0$.

2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Тогда функция принимает вид:
$y = (-x) \cdot x^4 - x^5 = -x^5 - x^5 = -2x^5$.

Итак, мы получили кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 0, & \text{если } x \ge 0 \\ -2x^5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Построим график этой функции.

Для всех $x \ge 0$ график функции совпадает с прямой $y=0$. Это луч, который начинается в точке $(0,0)$ и совпадает с положительной полуосью абсцисс.

Для всех $x < 0$ мы строим график функции $y = -2x^5$. Это кривая, проходящая через вторую и третью координатные четверти. Для построения найдем несколько точек:
при $x = -1$, $y = -2(-1)^5 = 2$. Точка $(-1, 2)$.
при $x = -2$, $y = -2(-2)^5 = -2(-32) = 64$. Точка $(-2, 64)$.
при $x \to 0^-$, $y \to 0$. График подходит к началу координат.

Итоговый график состоит из луча $y=0$ при $x \ge 0$ и ветви кривой $y=-2x^5$ при $x < 0$.

Ответ: График функции $y = |x|x^4 - x^5$ представляет собой объединение луча $y=0$ на промежутке $[0, +\infty)$ и графика функции $y=-2x^5$ на промежутке $(-\infty, 0)$.