Номер 9.7, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^8$ на промежутке:

1) $[0; 2];$

2) $[-2; -1];$

3) $[-1; 1];$

4) $(-\infty; -2];$

5) $(-2; 1).$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^8$ на заданных промежутках, проанализируем её поведение. Это степенная функция с четным показателем, её график симметричен относительно оси ординат. Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, \infty)$. Глобальный минимум достигается в точке $x=0$, $f(0) = 0$.

Функция $f(x) = x^8$ является возрастающей на промежутке $[0, \infty)$, а значит и на отрезке $[0; 2]$. Поэтому наименьшее значение она принимает в левом конце отрезка, а наибольшее — в правом.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Наибольшее значение: $f(2) = 2^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 256.

Функция $f(x) = x^8$ является убывающей на промежутке $(-\infty, 0]$, а значит и на отрезке $[-2; -1]$. Поэтому наименьшее значение она принимает в правом конце отрезка, а наибольшее — в левом.
Наименьшее значение: $f(-1) = (-1)^8 = 1$.
Наибольшее значение: $f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Ответ: наименьшее значение 1, наибольшее значение 256.

Отрезок $[-1; 1]$ содержит точку $x=0$, в которой функция $f(x)=x^8$ достигает своего глобального минимума. Для нахождения наибольшего значения на отрезке необходимо сравнить значения функции на его концах.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Значения на концах отрезка: $f(-1) = (-1)^8 = 1$ и $f(1) = 1^8 = 1$.
Следовательно, наибольшее значение на отрезке равно 1.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшее значение 1.

На промежутке $(-\infty; -2]$ функция $f(x) = x^8$ является убывающей. Поэтому наименьшее значение она принимает в крайней правой точке промежутка, то есть в $x=-2$.
Наименьшее значение: $f(-2) = (-2)^8 = 256$.
Поскольку при $x \to -\infty$, значения функции $f(x) = x^8$ неограниченно возрастают ($f(x) \to +\infty$), наибольшего значения на данном промежутке не существует.
Ответ: наименьшее значение 256, наибольшего значения не существует.

Промежуток $(-2; 1)$ является открытым и содержит точку $x=0$, в которой функция $f(x)=x^8$ достигает своего глобального минимума. Так как точка $x=0$ принадлежит данному промежутку, наименьшее значение функции на нем равно $f(0)$.
Наименьшее значение: $f(0) = 0^8 = 0$.
Для поиска наибольшего значения рассмотрим поведение функции на границах интервала. Так как интервал открытый, значения в точках $x=-2$ и $x=1$ не достигаются.
При $x \to -2$ (справа), $f(x) \to (-2)^8 = 256$.
При $x \to 1$ (слева), $f(x) \to 1^8 = 1$.
Точная верхняя грань (супремум) значений функции на данном промежутке равна 256, но это значение не достигается, так как $x=-2$ не принадлежит промежутку. Следовательно, наибольшего значения у функции на промежутке $(-2; 1)$ не существует.
Ответ: наименьшее значение 0, наибольшего значения не существует.