Номер 9.8, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^6$ на промежутке:

1) $[-13; -1];$

2) $[-2; 1];$

3) $[1; +\infty);$

4) $(1; +\infty).$

Для решения задачи проанализируем поведение функции $f(x) = x^6$. Это степенная функция с четным показателем $n=6$.

• Функция является четной, то есть $f(-x) = f(x)$.
• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.
• В точке $x=0$ функция имеет глобальный минимум, равный $f(0) = 0$.

1) $[-13; -1]$

Данный промежуток $[-13; -1]$ целиком лежит в области убывания функции $(-\infty, 0]$. На отрезке убывающая функция достигает своего наибольшего значения на левом конце, а наименьшего — на правом.

Наибольшее значение: $f(-13) = (-13)^6 = 13^6 = 4 \ 826 \ 809$.
Наименьшее значение: $f(-1) = (-1)^6 = 1$.

Ответ: наибольшее значение равно $4 \ 826 \ 809$, наименьшее значение равно $1$.

2) $[-2; 1]$

Данный промежуток $[-2; 1]$ содержит точку минимума функции $x=0$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в этой точке.

Наименьшее значение: $f(0) = 0^6 = 0$.
Для нахождения наибольшего значения необходимо сравнить значения функции на концах промежутка, так как максимум на отрезке, содержащем точку минимума, достигается на одном из его концов.
$f(-2) = (-2)^6 = 64$.
$f(1) = 1^6 = 1$.
Сравнивая $64$ и $1$, заключаем, что наибольшее значение равно $64$.

Ответ: наибольшее значение равно $64$, наименьшее значение равно $0$.

3) $[1; +\infty)$

Данный промежуток $[1; +\infty)$ целиком лежит в области возрастания функции $[0, +\infty)$. На таком промежутке возрастающая функция достигает своего наименьшего значения на левом конце.

Наименьшее значение: $f(1) = 1^6 = 1$.
Поскольку промежуток неограничен справа и функция на нем возрастает, ее значения неограниченно растут при $x \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $1$, наибольшего значения не существует.

4) $(1; +\infty)$

Данный промежуток $(1; +\infty)$ является открытым и целиком лежит в области возрастания функции. Поскольку функция строго возрастает, ее значения на этом промежутке будут всегда больше, чем значение в точке $x=1$, то есть $f(x) > f(1) = 1$. Так как можно взять значения $x$ сколь угодно близко к $1$ (например, $1.001$, $1.0001$ и т.д.), значения функции будут сколь угодно близки к $1$, но никогда не достигнут этого значения. Следовательно, наименьшего значения на данном промежутке не существует (существует только инфимум, равный 1). Аналогично предыдущему пункту, так как промежуток неограничен справа, наибольшего значения также не существует.

Ответ: ни наибольшего, ни наименьшего значения не существует.