Номер 9.4, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.4. Следует ли из неравенства $x_1 > x_2$, что $x_1^n > x_2^n$, если:

1) n — чётное;

2) n — нечётное?

1) n — чётное;

Нет, не следует. Утверждение, что из $x_1 > x_2$ следует $x_1^n > x_2^n$ для чётного $n$, в общем случае неверно. Это связано с тем, что функция $y=x^n$ при чётном натуральном $n$ не является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Для опровержения утверждения достаточно привести один контрпример.

Пусть $n=2$ (чётное число). Выберем $x_1=1$ и $x_2=-2$.

Неравенство $x_1 > x_2$ выполняется, так как $1 > -2$.

Теперь возведём оба числа в степень $n=2$:
$x_1^n = 1^2 = 1$
$x_2^n = (-2)^2 = 4$

Сравнивая результаты, получаем $1 < 4$, то есть $x_1^n < x_2^n$.

Таким образом, мы нашли случай, когда из $x_1 > x_2$ не следует $x_1^n > x_2^n$. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: нет, не следует.

2) n — нечётное?

Да, следует. Если $n$ — нечётное натуральное число, то функция $y=x^n$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых действительных чисел $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 > x_2$ всегда следует неравенство $x_1^n > x_2^n$.

Докажем это, рассмотрев все возможные случаи расположения $x_1$ и $x_2$ относительно нуля.

Случай 1: $x_1 > x_2 \ge 0$.
В этом случае оба числа неотрицательны. При возведении в любую натуральную степень $n$ большего неотрицательного числа мы получаем больший результат. Таким образом, $x_1^n > x_2^n$.

Случай 2: $x_1 > 0 > x_2$.
В этом случае $x_1$ — положительное число, а $x_2$ — отрицательное. При возведении положительного числа в любую натуральную степень $n$ результат будет положительным ($x_1^n > 0$). При возведении отрицательного числа в нечётную степень $n$ результат будет отрицательным ($x_2^n < 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому $x_1^n > x_2^n$.

Случай 3: $0 \ge x_1 > x_2$.
В этом случае оба числа отрицательны (или $x_1=0$). Введем новые переменные: $y_1 = -x_2$ и $y_2 = -x_1$. Из условия $x_1 > x_2$ следует, что $-x_2 > -x_1$, а значит $y_1 > y_2 \ge 0$. Согласно случаю 1, для неотрицательных чисел верно $y_1^n > y_2^n$. Подставим обратно наши переменные:
$(-x_2)^n > (-x_1)^n$
Так как $n$ — нечётное число, то $(-a)^n = -a^n$. Получаем:
$-x_2^n > -x_1^n$
Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$x_2^n < x_1^n$, что эквивалентно $x_1^n > x_2^n$.

Таким образом, во всех возможных случаях из $x_1 > x_2$ следует $x_1^n > x_2^n$, если $n$ — нечётное.

Ответ: да, следует.