Номер 8.20, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.20. Решите неравенство:

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0;$

2) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0;$

3) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0;$

4) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0.$

1) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

В этих точках неравенство принимает вид $0 \le 0$, что является верным. Следовательно, $x=-2$ и $x=2$ являются решениями.

Случай 2: Выражение под корнем строго больше нуля, а первый множитель меньше или равен нулю.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \le 1 \implies x \in [-1, 1]$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ) \cap [-1, 1] = \emptyset$. Система не имеет решений.

Объединяя решения из двух случаев, получаем только решения из первого случая.

Ответ: $\{-2, 2\}$

2) $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \ge 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: Выражение под корнем равно нулю.

$x^2 - 4 = 0 \implies x_1 = -2, x_2 = 2$.

Эти значения являются решениями, так как неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

Случай 2: Выражение под корнем строго больше нуля, и первый множитель больше или равен нулю.

Это соответствует системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 > 4 \implies x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 \ge 1 \implies x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) ) \cap ( (-\infty, -1] \cup [1, \infty) ) = (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{-2, 2\} \cup (-\infty, -2) \cup (2, \infty) = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$

3) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \le 0$

Неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Найдём корни по теореме Виета: $x_1+x_2=7, x_1x_2=10$. Корни: $x_1=2, x_2=5$.

Эти значения являются решениями ($0 \le 0$).

Случай 2: $\begin{cases} x^2 - 7x + 10 > 0 \\ x^2 - 5x + 4 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) \le 0$. Корни $x=1, x=4$. Решение: $x \in [1, 4]$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, 2) \cup (5, \infty) ) \cap [1, 4] = [1, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{2, 5\} \cup [1, 2) = [1, 2] \cup \{5\}$.

Ответ: $[1, 2] \cup \{5\}$

4) $(x^2 - 5x + 4)\sqrt{x^2 - 7x + 10} \ge 0$

Неравенство равносильно совокупности двух случаев:

Случай 1: $x^2 - 7x + 10 = 0$.

Корни уравнения: $x_1=2, x_2=5$. Эти значения являются решениями ($0 \ge 0$).

Случай 2: $\begin{cases} x^2 - 7x + 10 > 0 \\ x^2 - 5x + 4 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $(x-2)(x-5) > 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup (5, \infty)$.

Решим второе неравенство: $(x-1)(x-4) \ge 0$. Корни $x=1, x=4$. Решение: $x \in (-\infty, 1] \cup [4, \infty)$.

Найдём пересечение решений системы: $( (-\infty, 2) \cup (5, \infty) ) \cap ( (-\infty, 1] \cup [4, \infty) ) = (-\infty, 1] \cup (5, \infty)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $\{2, 5\} \cup (-\infty, 1] \cup (5, \infty) = (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [5, \infty)$