Номер 8.19, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.19. Решите неравенство:

1) $\frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1}$;

2) $\frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2}$.

1) $\frac{2(x-3)}{x(x-6)} < \frac{1}{x-1}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2(x-3)}{x(x-6)} - \frac{1}{x-1} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x-6)(x-1)$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0, x \neq 1, x \neq 6$.

$\frac{2(x-3)(x-1) - x(x-6)}{x(x-6)(x-1)} < 0$

Упростим числитель:

$2(x^2 - x - 3x + 3) - (x^2 - 6x) = 2(x^2 - 4x + 3) - x^2 + 6x = 2x^2 - 8x + 6 - x^2 + 6x = x^2 - 2x + 6$

Неравенство принимает вид:

$\frac{x^2 - 2x + 6}{x(x-6)(x-1)} < 0$

Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 6$. Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4 - 24 = -20$. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 - 2x + 6$ всегда положительно.

Так как числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Таким образом, нам нужно решить неравенство:

$x(x-6)(x-1) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни выражения в левой части: $0, 1, 6$. Нанесем эти точки на числовую прямую и определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 6$: $(+)(+)(+) > 0$
• При $1 < x < 6$: $(+)(-)(+) < 0$
• При $0 < x < 1$: $(+)(-)(-) > 0$
• При $x < 0$: $(-)(-)(-) < 0$

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(1, 6)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, 6)$.

2) $\frac{2x+3}{x^2+x-12} < \frac{1}{2}$

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$\frac{2x+3}{x^2+x-12} - \frac{1}{2} < 0$

Разложим знаменатель $x^2+x-12$ на множители. Корни квадратного трехчлена $x^2+x-12=0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$. Таким образом, $x^2+x-12 = (x-3)(x+4)$. ОДЗ: $x \neq 3, x \neq -4$.

$\frac{2x+3}{(x-3)(x+4)} - \frac{1}{2} < 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $2(x-3)(x+4)$:

$\frac{2(2x+3) - 1(x-3)(x+4)}{2(x-3)(x+4)} < 0$

Упростим числитель:

$2(2x+3) - (x^2+4x-3x-12) = 4x+6 - (x^2+x-12) = 4x+6 - x^2 - x + 12 = -x^2+3x+18$

Неравенство принимает вид:

$\frac{-x^2+3x+18}{2(x-3)(x+4)} < 0$

Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2-3x-18}{2(x-3)(x+4)} > 0$

Разложим числитель $x^2-3x-18$ на множители. Корни уравнения $x^2-3x-18=0$ равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -3$. Таким образом, $x^2-3x-18 = (x-6)(x+3)$.

$\frac{(x-6)(x+3)}{2(x-3)(x+4)} > 0$

Поскольку константа 2 в знаменателе не влияет на знак дроби, решаем неравенство:

$\frac{(x-6)(x+3)}{(x-3)(x+4)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $-4, -3, 3, 6$. Нанесем эти точки (выколотые) на числовую прямую и определим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 6$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
• При $3 < x < 6$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$
• При $-3 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
• При $-4 < x < -3$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$
• При $x < -4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -4)$, $(-3, 3)$ и $(6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (-3, 3) \cup (6, +\infty)$.