Номер 8.14, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.14. Решите неравенство:

1) $ (1-3x)^3(x+2)^2(x+4)^5(x-3) > 0; $

2) $ (x^2+2x-15)(x^2-4x+3)(x-1) \leq 0. $

1)

Решим неравенство $(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули (корни) левой части неравенства, приравняв ее к нулю:
$(1 - 3x)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) = 0$.
Корни и их кратность:
$1 - 3x = 0 \implies x_1 = 1/3$ (кратность 3, нечетная).
$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$ (кратность 2, четная).
$x + 4 = 0 \implies x_3 = -4$ (кратность 5, нечетная).
$x - 3 = 0 \implies x_4 = 3$ (кратность 1, нечетная).

2. Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: $-4, -2, 1/3, 3$. Эти точки разбивают ось на пять интервалов.

3. Определим знак выражения в каждом интервале. Для удобства приведем неравенство к виду, где коэффициент при $x$ в каждой скобке положителен. Множитель $(1 - 3x)^3$ можно переписать как $(-(3x - 1))^3 = -(3x - 1)^3$.
Неравенство принимает вид: $-(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) > 0$.
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$.

4. Определим знак в крайнем правом интервале $(3, +\infty)$. Возьмем пробную точку, например, $x = 10$. Все множители будут положительны, следовательно, все выражение положительно. Ставим знак «+».

5. Двигаясь справа налево, определим знаки в остальных интервалах. При переходе через корень нечетной кратности знак меняется, а при переходе через корень четной кратности — сохраняется.
- При переходе через $x = 3$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(1/3, 3)$ имеет знак «-».
- При переходе через $x = 1/3$ (нечетная кратность) знак меняется на «+». Интервал $(-2, 1/3)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -2$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-4, -2)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -4$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -4)$ имеет знак «-».

Таким образом, знаки на интервалах распределяются следующим образом: $(-\infty, -4): «-»$; $(-4, -2): «+»$; $(-2, 1/3): «+»$; $(1/3, 3): «-»$; $(3, +\infty): «+»$.

6. Выберем интервалы, удовлетворяющие неравенству $(3x - 1)^3(x + 2)^2(x + 4)^5(x - 3) < 0$. Это интервалы со знаком «-».
Так как исходное неравенство строгое, концы интервалов не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (1/3, 3)$.

2)

Решим неравенство $(x^2 + 2x - 15)(x^2 - 4x + 3)(x - 1) \le 0$.

1. Разложим квадратные трехчлены на множители. Для этого найдем их корни.
- Для $x^2 + 2x - 15 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x+5)(x-3)$.
- Для $x^2 - 4x + 3 = 0$: по теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$. Разложение: $(x-1)(x-3)$.

2. Подставим разложения в исходное неравенство:
$(x + 5)(x - 3)(x - 1)(x - 3)(x - 1) \le 0$.

3. Сгруппируем одинаковые множители:
$(x + 5)(x - 1)^2(x - 3)^2 \le 0$.

4. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули левой части:
$x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$ (кратность 1, нечетная).
$x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$ (кратность 2, четная).
$x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$ (кратность 2, четная).

5. Нанесем корни на числовую ось: $-5, 1, 3$. Определим знаки на полученных интервалах.
- В крайнем правом интервале $(3, +\infty)$ возьмем $x=4$: $(4+5)(4-1)^2(4-3)^2 > 0$. Знак «+».
- При переходе через $x = 3$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(1, 3)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = 1$ (четная кратность) знак не меняется. Интервал $(-5, 1)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x = -5$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». Интервал $(-\infty, -5)$ имеет знак «-».

Знаки на интервалах: $(-\infty, -5): «-»$; $(-5, 1): «+»$; $(1, 3): «+»$; $(3, +\infty): «+»$.

6. Нам нужно найти значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю ($\le 0$).
- Выражение меньше нуля ($<0$) на интервале $(-\infty, -5)$.
- Выражение равно нулю ($=0$) в точках $x = -5, x = 1, x = 3$.

Объединяя эти результаты, получаем решение: интервал $(-\infty, -5]$ и две изолированные точки $x=1$ и $x=3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup \{1; 3\}$.