Номер 8.7, страница 72 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.7. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0.$

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0$

Проанализируем каждый множитель в левой части неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, выражение $x^2 + 4$ всегда будет положительным, так как $x^2 + 4 \ge 4 > 0$.

Поскольку множитель $(x^2 + 4)$ всегда положителен, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$(2x + 1)(x - 3) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$.

$2x + 1 = 0 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x_1 = -0.5$

$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$

Нанесем эти корни на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -0.5)$, $(-0.5; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак выражения $(2x + 1)(x - 3)$ в каждом из этих интервалов, выбрав по одной пробной точке.

• Интервал $(-\infty; -0.5)$: возьмем $x = -1$. $(2(-1) + 1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4$. Знак "+".
• Интервал $(-0.5; 3)$: возьмем $x = 0$. $(2(0) + 1)(0 - 3) = (1)(-3) = -3$. Знак "−".
• Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x = 4$. $(2(4) + 1)(4 - 3) = (9)(1) = 9$. Знак "+".

Поскольку знак неравенства "<", нас интересует интервал, где произведение отрицательно. Это интервал $(-0.5; 3)$.

Ответ: $x \in (-0.5; 3)$.

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0$

Рассмотрим множитель $(x^2 - x + 1)$. Это квадратичный трехчлен. Найдем его дискриминант, чтобы определить, имеет ли он корни, и какой у него знак. $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($a=1>0$), то выражение $x^2 - x + 1$ всегда принимает положительные значения для любого действительного $x$.

Разделим обе части неравенства на положительное выражение $(x^2 - x + 1)$, при этом знак неравенства не изменится:

$(2 - x)(3x + 5) > 0$

Чтобы применить метод интервалов стандартным образом, приведем множитель $(2-x)$ к виду с положительным коэффициентом при $x$. Для этого вынесем $-1$ за скобки:

$-(x - 2)(3x + 5) > 0$

Теперь умножим обе части неравенства на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(3x + 5) < 0$

Найдем корни уравнения $(x - 2)(3x + 5) = 0$:

$x - 2 = 0 \Rightarrow x_1 = 2$

$3x + 5 = 0 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x_2 = -5/3$

Нанесем эти корни на числовую ось. Они разделят ось на три интервала: $(-\infty; -5/3)$, $(-5/3; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак выражения $(x - 2)(3x + 5)$ в каждом интервале.

• Интервал $(-\infty; -5/3)$: возьмем $x = -2$. $(-2 - 2)(3(-2) + 5) = (-4)(-1) = 4$. Знак "+".
• Интервал $(-5/3; 2)$: возьмем $x = 0$. $(0 - 2)(3(0) + 5) = (-2)(5) = -10$. Знак "−".
• Интервал $(2; +\infty)$: возьмем $x = 3$. $(3 - 2)(3(3) + 5) = (1)(14) = 14$. Знак "+".

Так как мы решаем неравенство $(x - 2)(3x + 5) < 0$, нас интересует интервал, где произведение отрицательно. Это интервал $(-5/3; 2)$.

Ответ: $x \in (-5/3; 2)$.