Номер 8.4, страница 71 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.4. Найдите множество решений неравенства:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{x-4}{x} \ge 0;$

3) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

4) $\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \le 0;$

5) $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0;$

6) $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \ge 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдём точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль (нули функции).

Нуль числителя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

Нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Отметим точки $-3$ и $1$ на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое ($>$), обе точки будут "выколотыми" (не будут входить в решение). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале, подставив в него любое значение из этого интервала:

Для интервала $(-\infty; -3)$ возьмём $x = -4$: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(-3; 1)$ возьмём $x = 0$: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак "-".

Для интервала $(1; \infty)$ возьмём $x = 2$: $\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля (имеет знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{x-4}{x} \geq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$. Поскольку неравенство нестрогое ($\geq$), эта точка входит в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Эта точка не входит в область допустимых значений, поэтому она всегда "выколотая".

Отметим точки $0$ и $4$ на числовой прямой. Точка $0$ выколота, точка $4$ закрашена. Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 4]$ и $[4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; 0)$ возьмём $x = -1$: $\frac{-1-4}{-1} = 5 > 0$. Знак "+".

Для интервала $(0; 4]$ возьмём $x = 1$: $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$. Знак "-".

Для интервала $[4; \infty)$ возьмём $x = 5$: $\frac{5-4}{5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы со знаком "+" и точка, где числитель равен нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup [4; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2$ или $x = -1$.

Нуль знаменателя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Отметим точки $-1$, $2$ и $4$ на числовой прямой. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые. Они разбивают прямую на четыре интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; 4)$ и $(4; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; -1)$ возьмём $x = -2$: $\frac{(-2-2)(-2+1)}{-2-4} = \frac{(-4)(-1)}{-6} < 0$. Знак "-".

Для интервала $(-1; 2)$ возьмём $x = 0$: $\frac{(0-2)(0+1)}{0-4} = \frac{-2}{-4} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(2; 4)$ возьмём $x = 3$: $\frac{(3-2)(3+1)}{3-4} = \frac{1 \cdot 4}{-1} < 0$. Знак "-".

Для интервала $(4; \infty)$ возьмём $x = 5$: $\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля (имеет знак "-").

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2; 4)$.

4) Решим неравенство $\frac{(x+1,2)(x-1,6)}{x-1,4} \leq 0$ методом интервалов.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x+1,2)(x-1,6) = 0 \Rightarrow x = -1,2$ или $x = 1,6$. Неравенство нестрогое ($\leq$), поэтому эти точки входят в решение.

Нуль знаменателя: $x - 1,4 = 0 \Rightarrow x = 1,4$. Эта точка выколотая.

Отметим точки $-1,2$, $1,4$ и $1,6$ на числовой прямой в порядке возрастания. Точки $-1,2$ и $1,6$ закрашенные, точка $1,4$ выколотая. Получаем интервалы: $(-\infty; -1,2]$, $[-1,2; 1,4)$, $(1,4; 1,6]$ и $[1,6; \infty)$.

Определим знак выражения на каждом интервале:

Для интервала $(-\infty; -1,2]$ возьмём $x = -2$: $\frac{(-2+1,2)(-2-1,6)}{-2-1,4} = \frac{(-0,8)(-3,6)}{-3,4} < 0$. Знак "-".

Для интервала $[-1,2; 1,4)$ возьмём $x = 0$: $\frac{(0+1,2)(0-1,6)}{0-1,4} = \frac{1,2 \cdot (-1,6)}{-1,4} > 0$. Знак "+".

Для интервала $(1,4; 1,6]$ возьмём $x = 1,5$: $\frac{(1,5+1,2)(1,5-1,6)}{1,5-1,4} = \frac{2,7 \cdot (-0,1)}{0,1} < 0$. Знак "-".

Для интервала $[1,6; \infty)$ возьмём $x = 2$: $\frac{(2+1,2)(2-1,6)}{2-1,4} = \frac{3,2 \cdot 0,4}{0,6} > 0$. Знак "+".

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -1,2] \cup (1,4; 1,6]$.

5) Решим неравенство $\frac{(3x-2)(4-x)}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Преобразуем множитель $(4-x)$ к виду $(x-k)$, вынеся $-1$ за скобку: $4-x = -(x-4)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(3x-2)(-(x-4))}{(x+3)(x-1)} > 0$.

Домножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный: $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(3x-2)(x-4)=0 \Rightarrow x=2/3$ или $x=4$.

Нули знаменателя: $(x+3)(x-1)=0 \Rightarrow x=-3$ или $x=1$.

Отметим точки $-3, 2/3, 1, 4$ на числовой прямой. Все точки выколотые. Они разбивают прямую на пять интервалов.

Определим знаки выражения $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)}$ в интервалах:

Для $x \in (-\infty; -3)$, например $x=-4$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = \frac{+}{+} > 0$.

Для $x \in (-3; 2/3)$, например $x=0$: $\frac{(-)(-)}{(+)(-)} = \frac{+}{-} < 0$.

Для $x \in (2/3; 1)$, например $x=0,8$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$.

Для $x \in (1; 4)$, например $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in (4; \infty)$, например $x=5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} > 0$.

Нам нужно найти решение неравенства $\frac{(3x-2)(x-4)}{(x+3)(x-1)} < 0$, то есть выбрать интервалы со знаком "-".

Ответ: $x \in (-3; 2/3) \cup (1; 4)$.

6) Решим неравенство $\frac{(x+1)(3-x)}{(3x-2)(4-3x)} \geq 0$.

Преобразуем множители $(3-x)$ и $(4-3x)$, вынеся $-1$ за скобки: $3-x = -(x-3)$ и $4-3x = -(3x-4)$.

Неравенство примет вид: $\frac{(x+1)(-(x-3))}{(3x-2)(-(3x-4))} \geq 0$.

Минусы в числителе и знаменателе сокращаются: $\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)} \geq 0$.

Найдём нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $(x+1)(x-3)=0 \Rightarrow x=-1$ или $x=3$. Точки закрашенные.

Нули знаменателя: $(3x-2)(3x-4)=0 \Rightarrow x=2/3$ или $x=4/3$. Точки выколотые.

Отметим точки $-1, 2/3, 4/3, 3$ на числовой прямой в порядке возрастания. Точки $-1$ и $3$ закрашенные, $2/3$ и $4/3$ выколотые.

Определим знаки выражения $\frac{(x+1)(x-3)}{(3x-2)(3x-4)}$ в интервалах:

Для $x \in (-\infty; -1]$, например $x=-2$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = \frac{+}{+} > 0$.

Для $x \in [-1; 2/3)$, например $x=0$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in (2/3; 4/3)$, например $x=1$: $\frac{(+)(-)}{(+)(-)} = \frac{-}{-} > 0$.

Для $x \in (4/3; 3]$, например $x=2$: $\frac{(+)(-)}{(+)(+)} = \frac{-}{+} < 0$.

Для $x \in [3; \infty)$, например $x=4$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = \frac{+}{+} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю (знак "+").

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup (2/3; 4/3) \cup [3; \infty)$.