Номер 7.19, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.19. Функция $f$ имеет обратную функцию $g$. Известно, что неравенство $2x - 8 < f(x) < 2x - 6$ выполняется для всех $x \in R$, а уравнение $g(x) = 2x^2 - 3$ имеет один положительный корень. Найдите этот корень приближённо с абсолютной погрешностью, равной $0,1$.

Пусть $x_0$ — искомый положительный корень уравнения $g(x) = 2x^2 - 3$. Это означает, что $x_0 > 0$ и для него выполняется равенство $g(x_0) = 2x_0^2 - 3$.

Поскольку функция $g$ является обратной к функции $f$, то из равенства $y_0 = g(x_0)$ следует равенство $f(y_0) = x_0$. Подставим в это выражение для $y_0$ его значение: $y_0 = 2x_0^2 - 3$.

Из условия задачи известно, что для всех $x \in R$ выполняется неравенство $2x - 8 < f(x) < 2x - 6$. Это неравенство справедливо и для $x = y_0$, поэтому:$2y_0 - 8 < f(y_0) < 2y_0 - 6$.

Теперь подставим в это неравенство выражения для $f(y_0)$ и $y_0$ через $x_0$:$2(2x_0^2 - 3) - 8 < x_0 < 2(2x_0^2 - 3) - 6$.

Упростим полученное двойное неравенство:$4x_0^2 - 6 - 8 < x_0 < 4x_0^2 - 6 - 6$$4x_0^2 - 14 < x_0 < 4x_0^2 - 12$.

Это двойное неравенство равносильно системе из двух квадратных неравенств:1. $4x_0^2 - 14 < x_0 \implies 4x_0^2 - x_0 - 14 < 0$2. $x_0 < 4x_0^2 - 12 \implies 4x_0^2 - x_0 - 12 > 0$

Решим первое неравенство $4x^2 - x - 14 < 0$.
Сначала найдем корни квадратного уравнения $4x^2 - x - 14 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225 = 15^2$. Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-14}{8} = -1.75$$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$Так как ветви параболы $y = 4x^2 - x - 14$ направлены вверх, неравенство $4x^2 - x - 14 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-1.75 < x_0 < 2$.

Решим второе неравенство $4x^2 - x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - x - 12 = 0$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 1 + 192 = 193$. Корни уравнения:$x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{193}}{8}$. Так как ветви параболы $y = 4x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $4x^2 - x - 12 > 0$ выполняется при значениях $x$ вне отрезка между корнями:$x_0 < \frac{1 - \sqrt{193}}{8}$ или $x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}$.

Найдем пересечение решений и учтем, что $x_0 > 0$.
Из первого неравенства и условия $x_0 > 0$ следует, что $0 < x_0 < 2$. Рассмотрим решения второго неравенства. Так как $13 < \sqrt{193} < 14$, то корень $\frac{1 - \sqrt{193}}{8}$ отрицателен. Поскольку мы ищем положительный корень, нам подходит только условие $x_0 > \frac{1 + \sqrt{193}}{8}$. Объединяя все условия, получаем:$\frac{1 + \sqrt{193}}{8} < x_0 < 2$.

Найдем приближенное значение корня с абсолютной погрешностью 0,1.
Для этого нам нужно найти интервал $(a, b)$, содержащий $x_0$, длина которого $b-a \le 2 \cdot 0,1 = 0,2$. Тогда середина этого интервала $\frac{a+b}{2}$ будет являться приближенным значением $x_0$ с требуемой точностью. Оценим нижнюю границу $\frac{1 + \sqrt{193}}{8}$. Мы знаем, что $13.4^2 = 179.56$ и $14^2 = 196$. Следовательно, $13.4 < \sqrt{193} < 14$. Тогда $1 + 13.4 < 1 + \sqrt{193} < 1 + 14$, то есть $14.4 < 1 + \sqrt{193} < 15$. Разделив на 8, получим:$\frac{14.4}{8} < \frac{1 + \sqrt{193}}{8} < \frac{15}{8}$$1.8 < \frac{1 + \sqrt{193}}{8} < 1.875$. Таким образом, для корня $x_0$ выполняется неравенство $1.8 < x_0 < 2$. Длина этого интервала равна $2 - 1.8 = 0.2$. В качестве приближенного значения корня можно взять середину этого интервала:$x_0 \approx \frac{1.8 + 2}{2} = \frac{3.8}{2} = 1.9$. Абсолютная погрешность этого приближения не превышает половины длины интервала, то есть $\frac{0.2}{2} = 0.1$, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1,9.