gdz.top
Номер 7.13, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 7. Обратная функция - номер 7.13, страница 67.
№7.12
№7.13 (с. 67)
Условие. №7.13 (с. 67)
7.13. Функция $g$ является обратной к функции $f(x) = x^5 + x - 1$. Решите уравнение $f(x) = g(x)$.
Решение. №7.13 (с. 67)
Дано уравнение $f(x) = g(x)$, где $f(x) = x^5 + x - 1$ и $g(x)$ — функция, обратная к $f(x)$.
Графики взаимно обратных функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ симметричны относительно прямой $y = x$. Точки пересечения этих графиков, то есть решения уравнения $f(x) = g(x)$, лежат на этой прямой, если функция $f(x)$ является строго монотонной. В этом случае решения уравнения $f(x) = g(x)$ совпадают с решениями уравнения $f(x) = x$.
Исследуем функцию $f(x)$ на монотонность. Для этого найдем её производную:
$f'(x) = (x^5 + x - 1)' = 5x^4 + 1$.
Так как выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного $x$, то $5x^4 \ge 0$. Следовательно, производная $f'(x) = 5x^4 + 1 \ge 1$.
Поскольку $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.
Это означает, что мы можем заменить исходное уравнение $f(x) = g(x)$ на равносильное ему уравнение $f(x) = x$.
Решим это уравнение:
$x^5 + x - 1 = x$
Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:
$x^5 - 1 = 0$
$x^5 = 1$
Единственным действительным корнем этого уравнения является $x = \sqrt[5]{1}$, то есть $x = 1$.
Ответ: $x=1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 7.13 расположенного на странице 67 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №7.13 (с. 67), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.