Номер 7.8, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.8. Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) $y = -0.5x + 2;$

2) $y = \sqrt{x + 1};$

3) $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

1)

Дана линейная функция $y = -0,5x + 2$. Ее график — прямая линия. Для нахождения обратной функции необходимо выразить $x$ через $y$, а затем поменять переменные местами.

$y = -0,5x + 2$
$0,5x = 2 - y$
$x = \frac{2 - y}{0,5}$
$x = 2(2 - y)$
$x = 4 - 2y$

Теперь меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в привычном виде: $y = -2x + 4$. Это также линейная функция, и ее график — прямая.

Для построения графика исходной функции $y = -0,5x + 2$ найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -0,5 \cdot 0 + 2 = 2$. Точка (0, 2).
• Если $y = 0$, то $0 = -0,5x + 2 \Rightarrow 0,5x=2 \Rightarrow x=4$. Точка (4, 0).

Для построения графика обратной функции $y = -2x + 4$ также найдем две точки:

• Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$. Точка (0, 4).
• Если $y = 0$, то $0 = -2x + 4 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$. Точка (2, 0).

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = -2x + 4$.

2)

Дана функция $y = \sqrt{x+1}$.

Найдем ее область определения $D(y)$ и область значений $E(y)$:

• Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, т.е. $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Таким образом, $D(y) = [-1; +\infty)$.
• Область значений: значение квадратного корня всегда неотрицательно, т.е. $y \ge 0$. Таким образом, $E(y) = [0; +\infty)$.

Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$: $y = \sqrt{x+1}$
Возведем обе части в квадрат (это возможно, так как $y \ge 0$):
$y^2 = x+1$
$x = y^2 - 1$

Меняем местами $x$ и $y$: $y = x^2 - 1$.

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $x \ge 0$. Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $y \ge -1$.

Итак, обратная функция: $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$.

График исходной функции $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, симметричной оси Ox, с вершиной в точке (-1, 0). График обратной функции $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы с вершиной в точке (0, -1). Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = x^2 - 1$ при $x \ge 0$.

3)

Дана кусочно-заданная функция $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 2x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

Найдем обратную функцию для каждого "кусочка" отдельно.

Случай 1: $x \ge 0$.
Функция имеет вид $y = x$. Область определения этого куска: $[0, +\infty)$. Область значений: $[0, +\infty)$. Выразим $x$ через $y$: $x = y$. Меняем переменные: $y = x$. Область определения для этого куска обратной функции совпадает с областью значений исходного, то есть $x \ge 0$. Таким образом, для $x \ge 0$ обратная функция есть $y = x$.

Случай 2: $x < 0$.
Функция имеет вид $y = 2x$. Область определения этого куска: $(-\infty, 0)$. Область значений: $(-\infty, 0)$. Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{y}{2}$. Меняем переменные: $y = \frac{x}{2}$ или $y = 0,5x$. Область определения для этого куска обратной функции совпадает с областью значений исходного, то есть $x < 0$. Таким образом, для $x < 0$ обратная функция есть $y = 0,5x$.

Объединяя оба случая, получаем обратную функцию: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$

График исходной функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=2x$ для $x < 0$. График обратной функции также состоит из двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=0,5x$ для $x < 0$. Графики симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция: $y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0, \\ 0,5x, & \text{если } x < 0. \end{cases}$