Номер 7.1, страница 66 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

7.1. Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) $y = |x|;$

2) $y = \frac{1}{x^4};$

3) $y = 5;$

4) $y = [x].$

Функция не является обратимой, если она не является взаимно-однозначной (инъективной). Чтобы доказать это, достаточно привести пример двух различных аргументов $x_1$ и $x_2$, для которых значения функции одинаковы: $f(x_1) = f(x_2)$ при $x_1 \neq x_2$.

1) Для функции $y = |x|$.
Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = |-3| = 3$
$y_2 = |3| = 3$
Поскольку для разных аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции совпадают ($y_1 = y_2$), функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

2) Для функции $y = \frac{1}{x^4}$.
Область определения функции: $x \neq 0$. Возьмем два различных значения аргумента из области определения, например, $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$
$y_2 = \frac{1}{1^4} = \frac{1}{1} = 1$
Так как различным аргументам соответствуют одинаковые значения функции, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

3) Для функции $y = 5$.
Это постоянная функция, которая любому значению аргумента $x$ ставит в соответствие число 5. Возьмем любые два различных значения аргумента, например, $x_1 = 0$ и $x_2 = 10$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Значения функции в этих точках равны:
$y_1 = 5$
$y_2 = 5$
Поскольку разным аргументам соответствует одно и то же значение функции, функция не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.

4) Для функции $y = [x]$ (целая часть числа).
Эта функция сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Возьмем два различных значения аргумента, например, $x_1 = 3.2$ и $x_2 = 3.9$.
Очевидно, что $x_1 \neq x_2$.
Вычислим значения функции в этих точках:
$y_1 = [3.2] = 3$
$y_2 = [3.9] = 3$
Поскольку для разных аргументов $x_1$ и $x_2$ мы получили одинаковые значения функции, функция не является взаимно-однозначной и, следовательно, не является обратимой.
Ответ: функция не является обратимой.