Номер 6.16, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.16. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ |3|x+1|-2| = a-x $ имеет 3 корня?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x) = |3|x+1|-2|$ и $y = g(x) = a-x$.

1. Построение графика функции $y = |3|x+1|-2|$

Построим график функции $f(x)$ с помощью последовательных геометрических преобразований:

1. Начнем с графика $y_1 = |x+1|$. Это "уголок", вершина которого находится в точке $(-1, 0)$.
2. Далее, $y_2 = 3|x+1|$. Этот график получается из предыдущего растяжением в 3 раза вдоль оси Oy. Вершина остается в точке $(-1, 0)$, а угловые коэффициенты ветвей становятся равными $3$ и $-3$.
3. Следующий шаг — $y_3 = 3|x+1|-2$. Этот график получается сдвигом графика $y_2$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина "уголка" перемещается в точку $(-1, -2)$.
4. Наконец, строим график $y = f(x) = |3|x+1|-2|$. Он получается из графика $y_3$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той его части, которая лежит ниже этой оси.

В результате такого преобразования график приобретает W-образную форму. Найдем его ключевые точки (вершины):

• Вершина графика $y_3$, находившаяся в точке $(-1, -2)$, после отражения переходит в точку локального максимума $B(-1, 2)$.
• Точки пересечения графика $y_3$ с осью Ox становятся точками локальных минимумов (равных нулю) для графика $f(x)$. Найдем их, решив уравнение $3|x+1|-2 = 0$:
  $|x+1| = \frac{2}{3}$
  Отсюда получаем два уравнения: $x+1 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = -\frac{1}{3}$
  $x+1 = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = -\frac{5}{3}$
  Таким образом, мы получаем две вершины на оси Ox: $A(-\frac{5}{3}, 0)$ и $C(-\frac{1}{3}, 0)$.

2. Анализ семейства прямых $y = a-x$

График уравнения $y = a-x$, или $y = -x+a$, представляет собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-1$. Параметр $a$ определяет положение прямой на плоскости: при его изменении прямая сдвигается параллельно самой себе вдоль оси Oy.

3. Определение количества точек пересечения

Нам необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых прямая $y = -x+a$ пересекает W-образный график $y = f(x)$ ровно в трех точках. Такие ситуации, как правило, возникают, когда прямая проходит через одну из вершин ("точек излома") графика $f(x)$.

Рассмотрим эти случаи:

1. Прямая проходит через точку локального максимума $B(-1, 2)$.
   Подставим координаты этой точки в уравнение прямой $y = -x+a$:
   $2 = -(-1) + a \Rightarrow 2 = 1 + a \Rightarrow a = 1$.
   При $a=1$ прямая проходит через вершину $B$ и пересекает две крайние ветви графика $f(x)$, так как ее наклон ($-1$) по модулю меньше наклонов этих ветвей ($3$ и $-3$). Следовательно, мы имеем ровно 3 точки пересечения.
2. Прямая проходит через правую точку минимума $C(-\frac{1}{3}, 0)$.
   Подставим координаты точки $C$ в уравнение прямой:
   $0 = -(-\frac{1}{3}) + a \Rightarrow 0 = \frac{1}{3} + a \Rightarrow a = -\frac{1}{3}$.
   В этом случае прямая проходит через точку $C$ и пересекает две левые ветви графика. Всего получается 3 точки пересечения.
3. Прямая проходит через левую точку минимума $A(-\frac{5}{3}, 0)$.
   Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой:
   $0 = -(-\frac{5}{3}) + a \Rightarrow 0 = \frac{5}{3} + a \Rightarrow a = -\frac{5}{3}$.
   При таком значении $a$ прямая касается графика в точке $A$ и проходит ниже всех остальных его частей. В этом случае имеется только одна точка пересечения.

Таким образом, уравнение имеет ровно три корня при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a=1$; $a=-1/3$.