Номер 6.9, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.9. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{|x+2|}$;

2) $y = (|x-2|-1)^2$;

3) $y = \sqrt{|x-1|}+2$.

1) $y = \sqrt{|x+2|}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x+2|}$ воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Построим график базовой функции $y = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси Ox, начинающаяся в точке (0, 0) и проходящая через точки (1, 1), (4, 2).
2. Построим график функции $y = \sqrt{|x|}$. Для этого часть графика $y = \sqrt{x}$ при $x \ge 0$ оставляем без изменений, а затем отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получим график, состоящий из двух ветвей, выходящих из точки (0, 0) и симметричных относительно оси Oy.
3. Искомый график $y = \sqrt{|x+2|}$ получается из графика $y = \sqrt{|x|}$ сдвигом влево вдоль оси Ox на 2 единицы. "Вершина" графика переместится из точки (0, 0) в точку (-2, 0).

Таким образом, график функции состоит из двух ветвей, выходящих из точки $(-2, 0)$. Одна ветвь является частью графика $y=\sqrt{x+2}$ (при $x \ge -2$), другая — частью графика $y=\sqrt{-x-2}$ (при $x < -2$). График симметричен относительно прямой $x=-2$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x+2|}$ — это график функции $y = \sqrt{|x|}$ (две симметричные относительно оси Oy ветви, выходящие из начала координат), сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox. Вершина графика находится в точке $(-2, 0)$.

2) $y = (|x-2|-1)^2$

Построение графика этой функции также выполним с помощью последовательных преобразований.

1. Начнем с параболы $y = x^2$.
2. Сдвинем ее на 1 единицу вправо, чтобы получить график функции $y = (x-1)^2$. Вершина этой параболы находится в точке (1, 0).
3. Теперь построим график $y = (|x|-1)^2$. Так как аргумент стоит под знаком модуля, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция совпадает с $y = (x-1)^2$. Поэтому мы берем часть графика $y = (x-1)^2$ при $x \ge 0$ и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получится график в форме буквы "W" с вершинами в точках (-1, 0) и (1, 0) и локальным максимумом в точке (0, 1).
4. Финальный график $y = (|x-2|-1)^2$ получается из графика $y = (|x|-1)^2$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.

При сдвиге точки графика смещаются: вершина из (-1, 0) в (1, 0), вершина из (1, 0) в (3, 0), локальный максимум из (0, 1) в (2, 1). График симметричен относительно прямой $x=2$.

Альтернативно, можно раскрыть модуль:
При $x \ge 2$: $y = (x-2-1)^2 = (x-3)^2$.
При $x < 2$: $y = (-(x-2)-1)^2 = (-x+2-1)^2 = (1-x)^2 = (x-1)^2$.
Таким образом, график состоит из левой части параболы $y=(x-1)^2$ (до точки $(2,1)$) и правой части параболы $y=(x-3)^2$ (от точки $(2,1)$).

Ответ: График функции $y = (|x-2|-1)^2$ имеет форму буквы "W". Он симметричен относительно прямой $x=2$, имеет точки минимума (вершины) в $(1, 0)$ и $(3, 0)$ и точку локального максимума в $(2, 1)$.

3) $y = \sqrt{|x-1|+2}$

Для построения графика функции $y = \sqrt{|x-1|+2}$ используем метод преобразований.

1. Рассмотрим базовую функцию $y = \sqrt{x}$.
2. Сдвинем ее график на 2 единицы влево, чтобы получить $y = \sqrt{x+2}$. График начинается в точке (-2, 0).
3. Построим график $y = \sqrt{|x|+2}$. Эта функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy. Для $x \ge 0$ имеем $y = \sqrt{x+2}$. Берем эту часть графика (от точки $(0, \sqrt{2})$ вправо) и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Получится гладкая кривая с точкой минимума в $(0, \sqrt{2})$.
4. Искомый график $y = \sqrt{|x-1|+2}$ получается из графика $y = \sqrt{|x|+2}$ сдвигом на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

При сдвиге точка минимума переместится из $(0, \sqrt{2})$ в точку $(1, \sqrt{2})$. График будет симметричен относительно прямой $x=1$.

Раскрыв модуль, получим:
При $x \ge 1$: $y = \sqrt{(x-1)+2} = \sqrt{x+1}$.
При $x < 1$: $y = \sqrt{-(x-1)+2} = \sqrt{-x+3}$.
График состоит из правой ветви функции $y = \sqrt{x+1}$ (начиная с точки $(1, \sqrt{2})$) и левой ветви функции $y = \sqrt{-x+3}$ (до точки $(1, \sqrt{2})$), которые плавно соединяются в этой точке.

Ответ: График функции $y = \sqrt{|x-1|+2}$ — это гладкая кривая, симметричная относительно прямой $x=1$, с точкой минимума (вершиной) в $(1, \sqrt{2} \approx 1.41)$.