Номер 6.11, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.11. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от значения параметра a:

1) $||x| - 1| = a;$

2) $|(|x| - 1)^2 - 1| = a;$

3) $|\sqrt{x} - 2| = a?$

1)

Для решения уравнения $||x| - 1| = a$ исследуем количество пересечений графика функции $y = ||x| - 1|$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Построим график функции $y = ||x| - 1|$:

1. Строим график $y = x$.
2. Часть графика при $x < 0$ заменяем симметричным отражением части при $x > 0$ относительно оси OY, получаем $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в (0, 0).
3. Сдвигаем график $y = |x|$ на 1 единицу вниз, получаем $y = |x| - 1$. Вершина смещается в точку (0, -1), а нули функции находятся в точках $x = -1$ и $x = 1$.
4. Часть графика, лежащую ниже оси OX (от $x = -1$ до $x = 1$), отражаем симметрично относительно оси OX. Получаем график $y = ||x| - 1|$. Это график в форме буквы "W". Ключевые точки: локальный максимум в (0, 1) и два локальных минимума в (-1, 0) и (1, 0).

Теперь проанализируем количество пересечений графика с прямой $y = a$ в зависимости от значения $a$:

• Если $a < 0$, прямая $y = a$ находится ниже оси OX и не имеет общих точек с графиком, так как значение модуля не может быть отрицательным. Корней нет.
• Если $a = 0$, прямая $y = a$ совпадает с осью OX и касается графика в двух точках минимума: $x = -1$ и $x = 1$. Уравнение имеет 2 корня.
• Если $0 < a < 1$, прямая $y = a$ пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.
• Если $a = 1$, прямая $y = a$ проходит через локальный максимум (0, 1) и еще две точки. Решая уравнение $||x|-1| = 1$, получаем $|x|-1 = 1$ или $|x|-1 = -1$. Отсюда $|x|=2$ (два корня: $x=2, x=-2$) и $|x|=0$ (один корень: $x=0$). Всего 3 корня.
• Если $a > 1$, прямая $y = a$ пересекает "ветви" графика в двух точках. Решая уравнение $|x|-1 = a$ или $|x|-1 = -a$, получаем $|x| = a+1$ (два корня, так как $a+1 > 0$) и $|x| = 1-a$ (нет корней, так как $1-a < 0$). Всего 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 2 корня; при $0 < a < 1$ — 4 корня; при $a = 1$ — 3 корня; при $a > 1$ — 2 корня.

2)

Рассмотрим уравнение $|(|x| - 1)^2 - 1| = a$.

Пусть $t = |x|$, где $t \geq 0$. Уравнение примет вид $|(t - 1)^2 - 1| = a$.

Исследуем количество решений этого уравнения для $t \geq 0$, а затем для каждого найденного $t$ найдем количество соответствующих ему значений $x$.

• Если $t > 0$, то $|x| = t$ дает два корня ($x = t$ и $x = -t$).
• Если $t = 0$, то $|x| = 0$ дает один корень ($x = 0$).

Построим график функции $y = |(t - 1)^2 - 1|$ для $t \geq 0$.

1. График $y = (t-1)^2$ — парабола с вершиной в (1, 0).
2. Сдвигаем график на 1 вниз, получаем $y = (t-1)^2 - 1$. Вершина в (1, -1). Нули функции: $(t-1)^2 = 1$, откуда $t=0$ и $t=2$.
3. Применяем модуль: $y = |(t-1)^2 - 1|$. Часть графика ниже оси OT (при $0 < t < 2$) отражается вверх. Получаем локальный максимум в (1, 1) и нули в $t=0$ и $t=2$.

Найдем количество решений $t \geq 0$ в зависимости от $a$:

• Если $a < 0$, решений для $t$ нет. Следовательно, корней для $x$ нет.
• Если $a = 0$, прямая $y=0$ пересекает график в точках $t=0$ и $t=2$.
  - $t=0 \implies |x|=0 \implies x=0$ (1 корень).
  - $t=2 \implies |x|=2 \implies x=\pm 2$ (2 корня).
  Всего $1+2=3$ корня.
• Если $0 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках $t_1, t_2, t_3, t_4$. Все эти значения $t$ положительны. Каждое из них дает 2 корня для $x$. Всего $4 \times 2 = 8$ корней.
• Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается графика в точке $t=1$ и пересекает его еще в одной точке. Решим $|(t - 1)^2 - 1| = 1$:
  - $(t-1)^2 - 1 = 1 \implies (t-1)^2 = 2 \implies t = 1 \pm \sqrt{2}$. Так как $t \geq 0$, подходит $t = 1+\sqrt{2}$.
  - $(t-1)^2 - 1 = -1 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t = 1$.
  Получаем два положительных решения для $t$: $t_1=1$ и $t_2=1+\sqrt{2}$.
  - $t=1 \implies |x|=1 \implies x=\pm 1$ (2 корня).
  - $t=1+\sqrt{2} \implies |x|=1+\sqrt{2} \implies x=\pm (1+\sqrt{2})$ (2 корня).
  Всего $2+2=4$ корня.
• Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках. Решаем $(t-1)^2 - 1 = a$ (так как $a>1$, рассматриваем только внешние ветви параболы).
  - $(t-1)^2 = a+1 \implies t = 1 \pm \sqrt{a+1}$.
  Поскольку $a>1$, то $\sqrt{a+1} > \sqrt{2} > 1$. Значит, $1-\sqrt{a+1} < 0$, и это решение для $t$ не подходит. Остается одно положительное решение $t = 1+\sqrt{a+1}$.
  - $t=1+\sqrt{a+1} \implies |x|=1+\sqrt{a+1}$ (2 корня).
  Всего 2 корня.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 3 корня; при $0 < a < 1$ — 8 корней; при $a = 1$ — 4 корня; при $a > 1$ — 2 корня.

3)

Рассмотрим уравнение $|\sqrt{x} - 2| = a$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$: $x \geq 0$.

Проанализируем уравнение:

• Если $a < 0$, уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным. Корней нет.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $|\sqrt{x} - 2| = 0$, что равносильно $\sqrt{x} - 2 = 0$. Отсюда $\sqrt{x} = 2$, и $x = 4$. Это единственный корень.
• Если $a > 0$, уравнение распадается на два:
  1. $\sqrt{x} - 2 = a \implies \sqrt{x} = a+2$. Так как $a>0$, то $a+2 > 0$. Возводим в квадрат и получаем $x_1 = (a+2)^2$. Это всегда один корень.
  2. $\sqrt{x} - 2 = -a \implies \sqrt{x} = 2-a$. Это уравнение имеет решение только если $2-a \geq 0$, то есть $a \leq 2$.
     - Если $0 < a < 2$, то $2-a > 0$, и мы получаем второй корень $x_2 = (2-a)^2$. Всего 2 корня.
     - Если $a = 2$, то $\sqrt{x} = 0$, откуда $x_2=0$. Первый корень $x_1 = (2+2)^2 = 16$. Всего 2 корня.
     - Если $a > 2$, то $2-a < 0$, и это уравнение не имеет решений. Остается только один корень от первого случая.

Объединим результаты:

• При $a < 0$: корней нет.
• При $a = 0$: 1 корень ($x=4$).
• При $0 < a < 2$: 2 корня ($x_1 = (a+2)^2, x_2 = (2-a)^2$).
• При $a = 2$: 2 корня ($x_1 = 16, x_2 = 0$).
• При $a > 2$: 1 корень ($x_1 = (a+2)^2$).

Можно сгруппировать случаи для $a>0$: при $0 < a \leq 2$ будет 2 корня, а при $a > 2$ будет 1 корень.

Ответ: при $a < 0$ корней нет; при $a = 0$ — 1 корень; при $0 < a \leq 2$ — 2 корня; при $a > 2$ — 1 корень.