Номер 6.6, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.6. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{3x + 1}$;

2) $y = \sqrt{5 - 2x}$;

3) $y = 2(3x - 1)^2 + 1$.

1) Для построения графика функции $y = \sqrt{3x+1}$ выполним следующие шаги:
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x+1 \ge 0$, откуда $3x \ge -1$, то есть $x \ge -1/3$. График будет расположен в области $x \ge -1/3$.
2. Найдём начальную точку графика. При $x = -1/3$, $y = \sqrt{3(-1/3)+1} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка — $(-1/3, 0)$.
3. Найдём несколько других точек для более точного построения: - при $x=0$, $y = \sqrt{3(0)+1} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(0, 1)$. - при $x=1$, $y = \sqrt{3(1)+1} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(1, 2)$.
4. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-1/3, 0)$ и направленную вправо и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{3x+1}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(-1/3, 0)$ и проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt{5-2x}$ выполним следующие шаги:
1. Найдём область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5-2x \ge 0$, откуда $5 \ge 2x$, то есть $x \le 2.5$. График будет расположен в области $x \le 2.5$.
2. Найдём начальную (крайнюю правую) точку графика. При $x = 2.5$, $y = \sqrt{5-2(2.5)} = \sqrt{0} = 0$. Начальная точка — $(2.5, 0)$.
3. Найдём несколько других точек для построения: - при $x=2$, $y = \sqrt{5-2(2)} = \sqrt{1} = 1$. Точка $(2, 1)$. - при $x=0.5$, $y = \sqrt{5-2(0.5)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0.5, 2)$. - при $x=-2$, $y = \sqrt{5-2(-2)} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(-2, 3)$.
4. Отметим найденные точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. График представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(2.5, 0)$ и направленную влево и вверх.
Ответ: График функции $y = \sqrt{5-2x}$ — это ветвь параболы, которая начинается в точке $(2.5, 0)$ и проходит через точки $(2, 1)$ и $(-2, 3)$.

3) Функция $y = 2(3x-1)^2 + 1$ является квадратичной, ее график — парабола. Для ее построения:
1. Найдём координаты вершины параболы. Вершина находится в точке, где выражение в скобках равно нулю: $3x-1=0$, откуда $x=1/3$. Подставим это значение в функцию, чтобы найти ординату вершины: $y = 2(0)^2 + 1 = 1$. Итак, вершина параболы — точка $(1/3, 1)$.
2. Определим направление ветвей. Коэффициент перед скобкой ($a=2$) положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Найдём точку пересечения с осью OY. Подставим $x=0$: $y = 2(3(0)-1)^2+1 = 2(-1)^2+1 = 3$. Точка пересечения — $(0, 3)$.
4. Для точности построения найдем еще одну точку, используя симметрию параболы относительно ее оси $x=1/3$. Точка, симметричная точке $(0, 3)$, будет иметь ординату $y=3$ и абсциссу $x=1/3+(1/3-0)=2/3$. Это точка $(2/3, 3)$.
5. Построим параболу по вершине $(1/3, 1)$ и точкам $(0, 3)$ и $(2/3, 3)$.
Ответ: График функции $y = 2(3x-1)^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(1/3, 1)$ и ветвями, направленными вверх. Парабола проходит через точки $(0, 3)$ и $(2/3, 3)$.