Номер 6.4, страница 59 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

6.4. Постройте график функции:

1) $y = |\sqrt{x-1}|$;

2) $y = \left|\frac{4}{x-2}\right|$;

3) $y = \left|\frac{x+2}{x-3}\right|$.

1)

Чтобы построить график функции $y = |\sqrt{x} - 1|$, воспользуемся методом преобразования графиков.

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = \sqrt{x}$. Это ветвь параболы, симметричная оси $Ox$, расположенная в первой координатной четверти. Область определения: $x \ge 0$. График начинается в точке $(0, 0)$ и проходит через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$.

2. Далее построим график функции $y_2 = \sqrt{x} - 1$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Теперь график начинается в точке $(0, -1)$ и пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$, так как $\sqrt{x} - 1 = 0$ при $x=1$.

3. Наконец, построим график искомой функции $y = |\sqrt{x} - 1|$. По определению модуля, $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится выше или на оси $Ox$, остается без изменений, а часть, которая находится ниже оси $Ox$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   • При $x \ge 1$, имеем $\sqrt{x} - 1 \ge 0$, поэтому $y = \sqrt{x} - 1$. Эта часть графика совпадает с графиком $y_2$.

   • При $0 \le x < 1$, имеем $\sqrt{x} - 1 < 0$, поэтому $y = -(\sqrt{x} - 1) = 1 - \sqrt{x}$. Эта часть графика является отражением соответствующей части графика $y_2$ относительно оси $Ox$. Например, точка $(0, -1)$ на графике $y_2$ переходит в точку $(0, 1)$ на графике $y$.

Итоговый график начинается в точке $(0, 1)$, убывает до точки $(1, 0)$, касаясь оси $Ox$, а затем возрастает, проходя через точку $(4, 1)$.

Ответ: График функции $y = |\sqrt{x} - 1|$ получается из графика функции $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 1 единицу вниз, после чего часть графика, оказавшаяся ниже оси абсцисс (на интервале $x \in [0, 1)$), отражается симметрично относительно этой оси.

2)

Для построения графика функции $y = |\frac{4}{x-2}|$ используем преобразования.

1. Строим график базовой функции $y_1 = \frac{4}{x}$. Это гипербола с асимптотами $x=0$ (ось $Oy$) и $y=0$ (ось $Ox$). Ветви расположены в первой и третьей координатных четвертях.

2. Строим график функции $y_2 = \frac{4}{x-2}$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом на 2 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x=2$. Горизонтальная асимптота остается $y=0$. Область определения: $x \ne 2$.

3. Теперь строим график $y = |y_2| = |\frac{4}{x-2}|$. Часть графика $y_2$, расположенная над осью $Ox$, остается без изменений, а часть под осью $Ox$ симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   • При $x > 2$, выражение $x-2 > 0$, значит $\frac{4}{x-2} > 0$. В этом случае $y = \frac{4}{x-2}$, и эта ветвь гиперболы остается на месте.

   • При $x < 2$, выражение $x-2 < 0$, значит $\frac{4}{x-2} < 0$. В этом случае $y = -(\frac{4}{x-2}) = \frac{4}{2-x}$. Эта ветвь, находившаяся в четвертой четверти относительно своих асимптот, отражается вверх и располагается во второй четверти.

Итоговый график состоит из двух ветвей гиперболы, обе расположены выше оси $Ox$. Асимптоты графика: вертикальная $x=2$ и горизонтальная $y=0$. При $x \to 2$ с обеих сторон, $y \to +\infty$.

Ответ: График функции $y = |\frac{4}{x-2}|$ — это гипербола $y = \frac{4}{x-2}$, у которой ветвь, расположенная ниже оси абсцисс (при $x < 2$), симметрично отражена относительно этой оси.

3)

Чтобы построить график функции $y = |\frac{x+2}{x-3}|$, сначала исследуем функцию внутри модуля.

1. Рассмотрим функцию $y_1 = \frac{x+2}{x-3}$. Это дробно-линейная функция. Для удобства построения выделим целую часть:

   $y_1 = \frac{x-3+5}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}$.

2. График функции $y_1$ — это гипербола, полученная из графика $y_{base} = \frac{5}{x}$ путем сдвига на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Асимптоты этой гиперболы: вертикальная $x=3$ и горизонтальная $y=1$.

3. Найдем точки пересечения графика $y_1$ с осями координат:

   • С осью $Ox$ ($y_1=0$): $\frac{x+2}{x-3} = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$. Точка $(-2, 0)$.

   • С осью $Oy$ ($x=0$): $y_1 = \frac{0+2}{0-3} = -\frac{2}{3}$. Точка $(0, -\frac{2}{3})$.

4. Теперь строим график искомой функции $y = |\frac{x+2}{x-3}| = |y_1|$. Часть графика $y_1$, где $y_1 \ge 0$, остается без изменений. Часть графика, где $y_1 < 0$, симметрично отражается относительно оси $Ox$.

   Выясним, где $y_1 < 0$: $\frac{x+2}{x-3} < 0$. Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $x \in (-2, 3)$.

Таким образом, итоговый график:

• На промежутках $(-\infty, -2]$ и $(3, \infty)$ совпадает с графиком $y_1 = 1 + \frac{5}{x-3}$.

• На промежутке $(-2, 3)$ является отражением графика $y_1$ относительно оси $Ox$. В частности, точка пересечения с осью $Oy$ становится $(0, \frac{2}{3})$, а точка $(-2, 0)$ становится точкой "излома" графика.

Асимптоты итогового графика остаются теми же: $x=3$ и $y=1$.

Ответ: График функции $y = |\frac{x+2}{x-3}|$ получается из графика гиперболы $y = \frac{x+2}{x-3}$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс той его части, которая лежит ниже этой оси (на интервале $x \in (-2, 3)$).