Номер 5.29, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.29. Решите уравнение $|x-1| + |x+2| = \sqrt{9-x^2}$.

Для решения уравнения $|x - 1| + |x + 2| = \sqrt{9 - x^2}$ определим сначала область допустимых значений (ОДЗ).

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $9 - x^2 \ge 0$. Решая это неравенство, получаем: $x^2 \le 9$, $|x| \le 3$, что эквивалентно $-3 \le x \le 3$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [-3, 3]$.

Решим уравнение, используя метод оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$ и $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$.

Исследуем левую часть: $f(x) = |x - 1| + |x + 2|$

Раскроем модули на промежутках, которые определяются точками $x = -2$ и $x = 1$, с учетом ОДЗ:

1. При $x \in [-3, -2]$: $f(x) = -(x - 1) - (x + 2) = -x + 1 - x - 2 = -2x - 1$. На этом промежутке функция убывает. Значения функции меняются от $f(-3) = 5$ до $f(-2) = 3$.

2. При $x \in (-2, 1]$: $f(x) = -(x - 1) + (x + 2) = -x + 1 + x + 2 = 3$. На этом промежутке функция постоянна и равна 3.

3. При $x \in (1, 3]$: $f(x) = (x - 1) + (x + 2) = 2x + 1$. На этом промежутке функция возрастает. Значения функции меняются от $f(1) = 3$ до $f(3) = 7$.

Из анализа функции $f(x)$ следует, что ее наименьшее значение на области определения $[-3, 3]$ равно 3. Таким образом, для любого $x \in [-3, 3]$ справедливо неравенство $f(x) \ge 3$.

Исследуем правую часть: $g(x) = \sqrt{9 - x^2}$

Функция $g(x)$ представляет собой уравнение верхней полуокружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$. Наибольшее значение этой функции достигается в ее вершине при $x = 0$ и равно $g(0) = \sqrt{9 - 0^2} = 3$. Таким образом, для любого $x \in [-3, 3]$ справедливо неравенство $g(x) \le 3$.

Нахождение решения

Мы пришли к системе условий для исходного уравнения $f(x) = g(x)$: $f(x) \ge 3$ $g(x) \le 3$

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно тогда и только тогда, когда обе функции одновременно принимают значение 3: $f(x) = g(x) = 3$.

Найдем, при каком значении $x$ функция $g(x)$ равна 3: $\sqrt{9 - x^2} = 3$ $9 - x^2 = 9$ $x^2 = 0$ $x = 0$.

Проверим, равно ли значение функции $f(x)$ трем при $x = 0$: $f(0) = |0 - 1| + |0 + 2| = |-1| + |2| = 1 + 2 = 3$.

Поскольку при $x=0$ обе части уравнения равны 3, это значение является единственным решением.

Ответ: $0$.