Номер 5.25, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.25. Найдите область значений функции:

1) $y = -2x^2 + 3x - 4$;

2) $y = \frac{3x+1}{2x+3}$;

3) $y = \frac{x}{x^2-1}$.

1) Данная функция $y = -2x^2 + 3x - 4$ является квадратичной. Ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -2 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Следовательно, область значений функции ограничена сверху значением функции в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{3}{2 \cdot (-2)} = \frac{3}{4}$.

Ордината вершины $y_v$ — это значение функции в точке $x_v$:

$y_v = -2\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{4}\right) - 4 = -2 \cdot \frac{9}{16} + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{18}{16} + \frac{9}{4} - 4 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} - \frac{32}{8} = \frac{-9 + 18 - 32}{8} = -\frac{23}{8}$.

Максимальное значение функции равно $-\frac{23}{8}$, а область значений — это все числа, не превосходящие это значение.

Ответ: $E(y) = (-\infty; -\frac{23}{8}]$.

2) Чтобы найти область значений функции $y = \frac{3x + 1}{2x + 3}$, выразим переменную $x$ через $y$.

$y(2x + 3) = 3x + 1$

$2xy + 3y = 3x + 1$

$2xy - 3x = 1 - 3y$

$x(2y - 3) = 1 - 3y$

$x = \frac{1 - 3y}{2y - 3}$

Полученное выражение для $x$ имеет смысл при всех значениях $y$, кроме тех, которые обращают знаменатель в ноль.

$2y - 3 \neq 0$

$2y \neq 3$

$y \neq \frac{3}{2}$

Таким образом, функция может принимать любые действительные значения, кроме $\frac{3}{2}$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; +\infty)$.

3) Для нахождения области значений функции $y = \frac{x}{x^2 - 1}$ определим, при каких значениях $y$ уравнение $y = \frac{x}{x^2 - 1}$ имеет хотя бы одно решение относительно $x$.

Преобразуем уравнение:

$y(x^2 - 1) = x$

$yx^2 - y = x$

$yx^2 - x - y = 0$

Мы получили уравнение, которое можно рассматривать как квадратное относительно $x$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $y = 0$, уравнение принимает вид $-x = 0$, откуда $x = 0$. Это значение $x$ входит в область определения исходной функции ($0^2 - 1 \neq 0$). Значит, $y=0$ принадлежит области значений.

2. Если $y \neq 0$, то уравнение $yx^2 - x - y = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни, если его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (-y) = 1 + 4y^2$.

Решим неравенство $D \ge 0$:

$1 + 4y^2 \ge 0$.

Так как $y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$, то $4y^2 \ge 0$, и, следовательно, $1 + 4y^2 \ge 1$. Неравенство $1 + 4y^2 \ge 0$ выполняется для любого действительного значения $y$.

Объединяя оба случая, мы получаем, что $y$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.