Номер 5.18, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.18. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = R$;

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f).$

1) $f(x) = -x^2 - 8x - 3, M = \mathbb{R}$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, что меньше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет максимальное значение в своей вершине и не имеет минимального значения, так как область её значений $(-\infty, y_0]$, где $y_0$ — ордината вершины.

Найдём координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В данном случае $a = -1$, $b = -8$.

$x_0 = -\frac{-8}{2(-1)} = -\frac{-8}{-2} = -4$.

Максимальное значение функции равно значению функции в точке $x_0 = -4$.

$\max_{M} f(x) = f(-4) = -(-4)^2 - 8(-4) - 3 = -16 + 32 - 3 = 13$.

Минимального значения у функции не существует, так как при $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к $-\infty$.

Ответ: $\max_{\mathbb{R}} f(x) = 13$, $\min_{\mathbb{R}} f(x)$ не существует.

2) $f(x) = \sqrt{2x - x^2}, M = D(f)$

Сначала найдём область определения функции $D(f)$, которая и является множеством $M$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, находим, что оно выполняется при $x \in [0, 2]$. Таким образом, $M = D(f) = [0, 2]$.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на отрезке $[0, 2]$. Для этого найдём производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки.

$f'(x) = (\sqrt{2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - x^2}} \cdot (2x - x^2)' = \frac{2 - 2x}{2\sqrt{2x - x^2}} = \frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}}$.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{1 - x}{\sqrt{2x - x^2}} = 0$

Это уравнение равносильно $1 - x = 0$, откуда $x = 1$. Точка $x=1$ принадлежит отрезку $[0, 2]$.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, нужно вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах.

Вычислим значения функции в точках $x=0$, $x=1$ и $x=2$.

$f(0) = \sqrt{2(0) - 0^2} = \sqrt{0} = 0$.

$f(1) = \sqrt{2(1) - 1^2} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1$.

$f(2) = \sqrt{2(2) - 2^2} = \sqrt{4 - 4} = \sqrt{0} = 0$.

Сравнивая полученные значения $\{0, 1, 0\}$, видим, что наибольшее значение равно 1, а наименьшее — 0.

Ответ: $\max_{D(f)} f(x) = 1$, $\min_{D(f)} f(x) = 0$.