gdz.top
Номер 5.20, страница 50 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 5. Функция и её свойства - номер 5.20, страница 50.
№5.19
№5.20 (с. 50)
Условие. №5.20 (с. 50)
5.20. Нечётная функция $f$ имеет 4 нуля. Докажите, что $0 \notin D(f)$.
Решение. №5.20 (с. 50)
Доказательство проведём методом от противного.
Предположим, что $0$ принадлежит области определения функции $f$, то есть $0 \in D(f)$.
По определению, функция $f$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Поскольку мы предположили, что $0 \in D(f)$, мы можем применить это свойство для $x = 0$:
$f(-0) = -f(0)$
$f(0) = -f(0)$
$2 \cdot f(0) = 0$
$f(0) = 0$
Из этого следует, что если $0$ входит в область определения нечётной функции, то $x=0$ обязательно является одним из её нулей.
Теперь рассмотрим остальные нули функции. Пусть $x_0 \neq 0$ является нулём функции $f$, то есть $f(x_0) = 0$.
Используя свойство нечётности, получаем:
$f(-x_0) = -f(x_0) = -0 = 0$.
Следовательно, если $x_0$ — ненулевой корень нечётной функции, то $-x_0$ также является её корнем. Это означает, что все ненулевые нули нечётной функции всегда существуют парами вида $(x_k, -x_k)$. Таким образом, количество ненулевых нулей всегда является чётным числом.
Если к этому чётному числу ненулевых нулей добавить один нуль в точке $x=0$ (который следует из нашего предположения), то общее количество нулей функции станет нечётным (чётное число + 1 = нечётное число).
Однако по условию задачи функция $f$ имеет 4 нуля. Число 4 — чётное.
Таким образом, мы пришли к противоречию: из нашего предположения следует, что общее число нулей должно быть нечётным, а по условию оно чётно. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $0 \in D(f)$, было неверным.
Следовательно, $0$ не принадлежит области определения функции $f$.
Ответ: что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 5.20 расположенного на странице 50 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.20 (с. 50), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.