Номер 5.17, страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.17. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbf{R}$;

2) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}, M = D(f)$.

1) $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbb{R}$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума (в вершине параболы), но не ограничена сверху, то есть не имеет максимального значения на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Чтобы найти минимальное значение, найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Минимальное значение функции будет равно значению функции в этой точке:

$\min_{M} f(x) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.

Другой способ — выделить полный квадрат:

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Поскольку выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=3$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 + 1 = 1$.

Максимального значения у функции нет, так как при $x \to \pm\infty$, значение $f(x) \to +\infty$.

Ответ: $\min_{M} f(x) = 1$, $\max_{M} f(x)$ не существует.

2) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}, M = D(f)$

Вначале найдем область определения функции $D(f)$, которая и является множеством $M$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

$-4 \le x \le 4$

Итак, $M = D(f) = [-4, 4]$.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на этом отрезке. Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей, поэтому её наибольшее и наименьшее значения достигаются там же, где и у подкоренного выражения $g(x) = 16 - x^2$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 16 - x^2$ на отрезке $[-4, 4]$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0$.

Максимальное значение $g(x)$ на отрезке $[-4, 4]$:

$g_{max} = g(0) = 16 - 0^2 = 16$.

Минимальное значение $g(x)$ на отрезке $[-4, 4]$ будет достигаться на его концах:

$g(-4) = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

$g(4) = 16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.

Значит, $g_{min} = 0$.

Теперь найдем значения для исходной функции $f(x)$:

Наибольшее значение: $\max_{M} f(x) = \sqrt{g_{max}} = \sqrt{16} = 4$ (достигается при $x=0$).

Наименьшее значение: $\min_{M} f(x) = \sqrt{g_{min}} = \sqrt{0} = 0$ (достигается при $x=-4$ и $x=4$).

Ответ: $\max_{M} f(x) = 4$, $\min_{M} f(x) = 0$.