Страница 49 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.9. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x} + 2$;

2) $y = |x^2 - 4|$;

3) $y = \sqrt{(x - 1)(x - 3)^2}$;

4) $y = [x]$.

1) $y = \sqrt{x} + 2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

Для любого $x$ из области определения значение $\sqrt{x}$ является неотрицательным, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.

Следовательно, значение функции $y = \sqrt{x} + 2$ будет всегда больше или равно 2, так как $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2 = 2$.

Поскольку $y \ge 2$ на всей области определения, функция всегда положительна. Промежутков, где функция отрицательна или равна нулю, не существует.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [0, +\infty)$.

2) $y = |x^2 - 4|$

Область определения данной функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$, так как выражение $x^2 - 4$ определено для любого $x$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной, поэтому $y = |x^2 - 4| \ge 0$ для всех значений $x$.

Найдем значения $x$, при которых функция равна нулю. Это происходит, когда выражение под знаком модуля равно нулю:
$x^2 - 4 = 0$
$(x - 2)(x + 2) = 0$
Отсюда, $x = -2$ и $x = 2$ — нули функции.

Во всех остальных точках области определения функция будет строго положительной, так как $|x^2 - 4| > 0$, если $x^2 - 4 \neq 0$.

Таким образом, функция положительна при всех $x$, кроме $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

3) $y = \sqrt{(x-1)(x-3)^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$(x-1)(x-3)^2 \ge 0$.

Выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$) при любом $x$. Оно равно нулю при $x=3$.
Таким образом, знак всего произведения зависит от знака множителя $(x-1)$.
Неравенство выполняется, если:
а) $x-1 \ge 0$, так как произведение неотрицательного и неотрицательного числа неотрицательно. Отсюда $x \ge 1$.
б) Точка $x=3$ также является решением, так как при $x=3$ все выражение обращается в ноль, что удовлетворяет условию $\ge 0$.
Объединив эти условия, получаем область определения $D(y) = [1, +\infty)$.

Значение функции $y$, как квадратного корня, всегда неотрицательно: $y \ge 0$.

Найдем нули функции: $y=0$, когда подкоренное выражение равно нулю:
$(x-1)(x-3)^2 = 0$
Это верно при $x=1$ и при $x=3$.

Функция строго положительна ($y>0$), когда подкоренное выражение строго положительно:
$(x-1)(x-3)^2 > 0$.
Это требует, чтобы $x-1 > 0$ и $(x-3)^2 > 0$, то есть $x > 1$ и $x \neq 3$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) $y = [x]$

Функция $y = [x]$ (целая часть числа $x$ или "пол") сопоставляет каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Область определения — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Рассмотрим, при каких значениях $x$ функция принимает положительные, отрицательные и нулевые значения.

1. Функция положительна ($y > 0$):
Это означает, что $[x] \ge 1$. По определению целой части, это неравенство выполняется для всех $x$, которые больше или равны 1.
Следовательно, $y > 0$ при $x \in [1, +\infty)$.

2. Функция отрицательна ($y < 0$):
Это означает, что $[x] \le -1$. По определению целой части, это неравенство выполняется для всех $x$, которые меньше 0.
Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

3. Функция равна нулю ($y = 0$):
Это означает, что $[x] = 0$. По определению, это выполняется для всех $x$ таких, что $0 \le x < 1$. На этом промежутке функция не является знакопостоянной (она равна нулю).

Промежутками знакопостоянства являются те, где функция строго больше или строго меньше нуля.

Ответ: $y > 0$ при $x \in [1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

5.10. Функция $f$ чётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(2) - f(-2) = 1;$

2) $f(5) f(-5) = -2;$

3) $\frac{f(1)}{f(-1)} = 0?$

По определению, функция $f$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Исходя из этого определения, проанализируем каждое из предложенных равенств.

1)
Для чётной функции $f$ должно выполняться равенство $f(-2) = f(2)$.
Подставим это в исходное выражение $f(2) - f(-2) = 1$:
$f(2) - f(2) = 1$
$0 = 1$
Полученное равенство является ложным. Следовательно, исходное равенство для чётной функции выполняться не может.
Ответ: не может.

2)
Так как функция $f$ чётная, то по определению $f(-5) = f(5)$.
Подставим это в исходное равенство $f(5)f(-5) = -2$:
$f(5) \cdot f(5) = -2$
$(f(5))^2 = -2$
Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $(f(5))^2 \ge 0$. Равенство $(f(5))^2 = -2$ не может выполняться для действительных значений функции.
Следовательно, данное равенство выполняться не может.
Ответ: не может.

3)
Равенство дроби $\frac{f(1)}{f(-1)}$ нулю возможно только в том случае, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Таким образом, должны одновременно выполняться два условия:
1. $f(1) = 0$
2. $f(-1) \neq 0$
Поскольку функция $f$ является чётной, для неё справедливо равенство $f(-1) = f(1)$.
Если выполняется первое условие, $f(1) = 0$, то из свойства чётности следует, что и $f(-1) = 0$.
Это прямо противоречит второму условию ($f(-1) \neq 0$), которое необходимо для существования самой дроби (деление на ноль невозможно).
Следовательно, данное равенство выполняться не может.
Ответ: не может.

5.11. Функция $f$ нечётная. Может ли выполняться равенство:

1) $f(1) + f(-1) = 1$;

2) $f(2) f(-2) = 3$;

3) $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0$?

По определению, функция $f$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Используем это свойство для решения каждого пункта.

1) $f(1) + f(-1) = 1$

Так как функция $f$ нечётная, то $f(-1) = -f(1)$. Подставим это в левую часть равенства:

$f(1) + f(-1) = f(1) + (-f(1)) = f(1) - f(1) = 0$

Таким образом, для любой нечётной функции сумма $f(1) + f(-1)$ всегда равна 0. Равенство $0=1$ является ложным, следовательно, данное равенство выполняться не может.

Ответ: нет, не может.

2) $f(2)f(-2) = 3$

Так как функция $f$ нечётная, то $f(-2) = -f(2)$. Подставим это в левую часть равенства:

$f(2)f(-2) = f(2) \cdot (-f(2)) = -(f(2))^2$

Согласно условию, это произведение равно 3. Получаем уравнение:

$-(f(2))^2 = 3$, или $(f(2))^2 = -3$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, не существует такого действительного значения $f(2)$, которое бы удовлетворяло этому уравнению. Значит, данное равенство выполняться не может.

Ответ: нет, не может.

3) $\frac{f(-2)}{f(2)} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, для выполнения данного равенства должны одновременно соблюдаться два условия:

1. $f(-2) = 0$

2. $f(2) \neq 0$

Проверим, могут ли эти условия выполняться для нечётной функции. Из свойства нечётности $f(-x) = -f(x)$ следует, что $f(-2) = -f(2)$.

Если выполняется первое условие, $f(-2)=0$, то и $-f(2)=0$, откуда следует, что $f(2)=0$. Но это противоречит второму условию, $f(2) \neq 0$.

Поскольку эти два условия для нечётной функции не могут выполняться одновременно, данное равенство невозможно.

Ответ: нет, не может.

5.12. Докажите, что функция является чётной:

1) $f(x) = -3x^2 + |x| - 1;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{\sqrt{1-x} - \sqrt{x+1}};$

3) $f(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5} + \sqrt{x^2 + 3x + 5};$

4) $f(x) = (x+2) |x-4| - (x-2) |x+4|.$

5.13. Докажите, что функция является нечётной:

1) $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x};$

2) $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}};$

3) $g(x) = \frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4-1};$

4) $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}.$

Функция $g(x)$ называется нечётной, если её область определения $D(g)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(g)$, то и $-x \in D(g)$), и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $g(-x) = -g(x)$. Проверим выполнение этих условий для каждой функции.

1) Дана функция $g(x) = \sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ 2+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 2 \\ x \ge -2 \end{cases}$
Следовательно, $D(g) = [-2, 2]$. Эта область симметрична относительно начала координат, так как для любого $x \in [-2, 2]$ также и $-x \in [-2, 2]$.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \sqrt{2-(-x)} - \sqrt{2+(-x)} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
$-g(x) = -(\sqrt{2-x} - \sqrt{2+x}) = -\sqrt{2-x} + \sqrt{2+x} = \sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

2) Дана функция $g(x) = \frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} 3-x \ge 0 \\ 3+x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -3 \end{cases} \implies x \in [-3, 3]$.
$\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x} \neq 0 \implies \sqrt{3-x} \neq \sqrt{3+x} \implies 3-x \neq 3+x \implies 2x \neq 0 \implies x \neq 0$.
Следовательно, $D(g) = [-3, 0) \cup (0, 3]$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{3-(-x)} - \sqrt{3+(-x)}} = \frac{x^2}{\sqrt{3+x} - \sqrt{3-x}}$.
Вынесем знак минус из знаменателя:
$g(-x) = \frac{x^2}{-(\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x})} = -\frac{x^2}{\sqrt{3-x} - \sqrt{3+x}} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

3) Дана функция $g(x) = \frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4 - 1}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^4 - 1 \neq 0 \implies (x^2-1)(x^2+1) \neq 0 \implies (x-1)(x+1)(x^2+1) \neq 0$.
Так как $x^2+1 > 0$ для всех $x$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
$g(-x) = \frac{|4(-x)-1| - |4(-x)+1|}{(-x)^4 - 1} = \frac{|-4x-1| - |-4x+1|}{x^4 - 1}$.
Используя свойство модуля $|-a| = |a|$, получаем:
$g(-x) = \frac{|-(4x+1)| - |-(4x-1)|}{x^4 - 1} = \frac{|4x+1| - |4x-1|}{x^4 - 1}$.
Вынесем знак минус из числителя:
$g(-x) = \frac{-(|4x-1| - |4x+1|)}{x^4 - 1} = -\frac{|4x-1| - |4x+1|}{x^4 - 1} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

4) Дана функция $g(x) = \frac{3x+2}{x^2-x+1} + \frac{3x-2}{x^2+x+1}$.
1. Найдём область определения $D(g)$. Знаменатели не должны быть равны нулю.
Для знаменателя $x^2-x+1$: дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2-x+1 > 0$ для всех $x$.
Для знаменателя $x^2+x+1$: дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $x^2+x+1 > 0$ для всех $x$.
Следовательно, $D(g) = (-\infty, \infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.
2. Проверим выполнение равенства $g(-x) = -g(x)$ для любого $x \in D(g)$.
Для удобства приведем выражение для $g(x)$ к общему знаменателю:
$g(x) = \frac{(3x+2)(x^2+x+1) + (3x-2)(x^2-x+1)}{(x^2-x+1)(x^2+x+1)}$.
Раскроем скобки в числителе:
$(3x+2)(x^2+x+1) = 3x^3+3x^2+3x+2x^2+2x+2 = 3x^3+5x^2+5x+2$.
$(3x-2)(x^2-x+1) = 3x^3-3x^2+3x-2x^2+2x-2 = 3x^3-5x^2+5x-2$.
Сложим выражения:
$(3x^3+5x^2+5x+2) + (3x^3-5x^2+5x-2) = 6x^3+10x$.
Знаменатель равен $(x^2+1-x)(x^2+1+x) = (x^2+1)^2 - x^2 = x^4+2x^2+1-x^2 = x^4+x^2+1$.
Таким образом, $g(x) = \frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1}$.
Теперь найдём $g(-x)$:
$g(-x) = \frac{6(-x)^3+10(-x)}{(-x)^4+(-x)^2+1} = \frac{-6x^3-10x}{x^4+x^2+1} = -\frac{6x^3+10x}{x^4+x^2+1} = -g(x)$.
Поскольку $g(-x) = -g(x)$, функция является нечётной.
Ответ: Утверждение доказано.

5.14. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = \frac{x-1}{x-1};$

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1};$

3) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1};$

4) $y = x\mathfrak{D}(x).$

1) $y = \frac{x-1}{x-1}$

Для исследования функции на чётность необходимо выполнить два условия:
1. Область определения функции $D(y)$ должна быть симметричной относительно начала координат (то есть если $x \in D(y)$, то и $-x \in D(y)$).
2. Для любого $x$ из области определения должно выполняться одно из равенств:
- $f(-x) = f(x)$ (функция чётная);
- $f(-x) = -f(x)$ (функция нечётная).

Найдём область определения данной функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Проверим область определения на симметричность. Возьмём точку $x = -1$, она принадлежит $D(y)$. Однако, симметричная ей точка $-x = -(-1) = 1$ не принадлежит $D(y)$.
Поскольку область определения функции не является симметричной относительно начала координат, первое условие не выполняется. Следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

2) $y = \frac{x^2-1}{x^2-1}$

1. Найдём область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$, что равносильно $(x-1)(x+1) \neq 0$. Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Если $x \in D(y)$, то $x \neq 1$ и $x \neq -1$. Тогда и $-x \neq -1$ и $-x \neq 1$, следовательно, $-x$ также принадлежит области определения $D(y)$. Область определения симметрична.

3. Проверим выполнение условия чётности. Обозначим функцию как $f(x)$.
Для любого $x$ из $D(y)$, значение функции равно $f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.
Найдём значение функции в точке $-x$:
$f(-x) = \frac{(-x)^2-1}{(-x)^2-1} = \frac{x^2-1}{x^2-1} = 1$.

Сравнивая $f(x)$ и $f(-x)$, получаем $f(-x) = 1 = f(x)$.
Так как область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

3) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

1. Найдём область определения функции. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x + 1 \geq 0 \end{cases}$
Решая её, получаем:
$\begin{cases} x \geq 1 \\ x \geq -1 \end{cases}$
Общим решением системы является $x \geq 1$.
Область определения $D(y) = [1; +\infty)$.

2. Проверим область определения на симметричность. Область $D(y) = [1; +\infty)$ не является симметричной относительно нуля. Например, точка $x=2$ принадлежит области определения, а симметричная ей точка $-x = -2$ не принадлежит.
Поскольку область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

4) $y = x \mathfrak{D}(x)$

В этой задаче $\mathfrak{D}(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число } (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

1. Найдём область определения функции $f(x) = x \mathfrak{D}(x)$. Функция определена для всех действительных чисел $x$, поэтому область определения $D(y) = \mathbb{R}$.

2. Область определения $D(y) = \mathbb{R}$ является симметричной относительно нуля.

3. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдём $f(-x)$:
$f(-x) = (-x) \mathfrak{D}(-x)$.
Рассмотрим два возможных случая для $x$:
а) $x$ — рациональное число ($x \in \mathbb{Q}$). Тогда $-x$ тоже рациональное число, и $\mathfrak{D}(x) = 1$, $\mathfrak{D}(-x) = 1$.
$f(x) = x \cdot 1 = x$.
$f(-x) = (-x) \cdot 1 = -x$.
В этом случае $f(-x) = -f(x)$.
б) $x$ — иррациональное число ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$). Тогда $-x$ тоже иррациональное число, и $\mathfrak{D}(x) = 0$, $\mathfrak{D}(-x) = 0$.
$f(x) = x \cdot 0 = 0$.
$f(-x) = (-x) \cdot 0 = 0$.
В этом случае также выполняется $f(-x) = -f(x)$, так как $-f(x) = -0 = 0$.

Поскольку равенство $f(-x) = -f(x)$ выполняется для всех действительных чисел (как рациональных, так и иррациональных), функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

5.15. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}$;

2) $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$;

3) $y = \sqrt{|x| + 1}(x - 3)$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{4 - |x|} + \frac{1}{x + 2}$ находится из системы условий:

$\begin{cases} 4 - |x| \ge 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Первое условие связано с тем, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Второе — с тем, что знаменатель дроби не может быть равен нулю.

Решим первое неравенство:
$4 - |x| \ge 0$
$|x| \le 4$
Это неравенство равносильно двойному неравенству $-4 \le x \le 4$, что соответствует промежутку $x \in [-4, 4]$.

Решим второе условие:
$x + 2 \neq 0$
$x \neq -2$.

Для нахождения области определения функции необходимо найти пересечение решений этих двух условий. То есть, из отрезка $[-4, 4]$ нужно исключить точку $x = -2$.
В результате получаем объединение двух промежутков.

Ответ: $D(y) = [-4, -2) \cup (-2, 4]$.

2) Область определения функции $y = \sqrt{|x| - 3} + \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$ задается системой условий:

$\begin{cases} |x| - 3 \ge 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases}$

Первое условие: выражение под первым квадратным корнем должно быть неотрицательным. Второе условие: выражение под квадратным корнем в знаменателе должно быть строго положительным (так как корень находится в знаменателе).

Решим первое неравенство:
$|x| - 3 \ge 0$
$|x| \ge 3$
Это неравенство эквивалентно совокупности $x \ge 3$ или $x \le -3$. Решением является объединение промежутков $(-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решим второе неравенство:
$x + 1 > 0$
$x > -1$
Решением является промежуток $(-1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение полученных множеств: $((-\infty, -3] \cup [3, \infty)) \cap (-1, \infty)$.
При пересечении промежутка $(-1, \infty)$ с $(-\infty, -3]$ получаем пустое множество.
При пересечении промежутка $(-1, \infty)$ с $[3, \infty)$ получаем $[3, \infty)$.
Таким образом, итоговое решение — это промежуток $[3, \infty)$.

Ответ: $D(y) = [3, \infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{|x + 1|(x - 3)}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$|x + 1|(x - 3) \ge 0$.

Множитель $|x + 1|$ является неотрицательным при любых действительных значениях $x$, то есть $|x + 1| \ge 0$.

Рассмотрим два случая, при которых произведение будет неотрицательным:

1. Один из множителей равен нулю. Выражение равно нулю, если $|x + 1| = 0$ или $x - 3 = 0$.
Из $|x + 1| = 0$ следует $x = -1$.
Из $x - 3 = 0$ следует $x = 3$.
При этих значениях $x$ неравенство $0 \ge 0$ выполняется, значит, точки $x = -1$ и $x = 3$ входят в область определения.

2. Оба множителя строго положительны.
$|x + 1| > 0$ при $x \neq -1$.
$x - 3 > 0$ при $x > 3$.
Пересечением этих условий является $x > 3$.

Объединяя все найденные решения (точку $x = -1$, точку $x = 3$ и интервал $x > 3$), получаем множество, состоящее из изолированной точки и числового луча.

Ответ: $D(y) = \{ -1 \} \cup [3, \infty)$.

5.16. Найдите область определения функции:

1) $y = \frac{1}{\sqrt{|x|}-1} + \sqrt{x+4};$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}};$

3) $y = \sqrt{(x+4)^2(x-3)}.$

1) $y = \frac{1}{\sqrt{|x| - 1}} + \sqrt{x + 4}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых оба слагаемых функции имеют смысл. Найдем область определения для каждого слагаемого.

Для первого слагаемого $\frac{1}{\sqrt{|x| - 1}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:

$|x| - 1 > 0$

$|x| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности $x < -1$ или $x > 1$. Таким образом, область определения для первого слагаемого: $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Для второго слагаемого $\sqrt{x + 4}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 4 \ge 0$

$x \ge -4$

Область определения для второго слагаемого: $[-4, \infty)$.

Область определения всей функции является пересечением найденных областей: $D(y) = ((-\infty, -1) \cup (1, \infty)) \cap [-4, \infty)$.

Пересекая эти множества, получаем: $[-4, -1) \cup (1, \infty)$.

Ответ: $[-4, -1) \cup (1, \infty)$

2) $y = \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2(x+3)}}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля:

$(x+1)^2(x+3) > 0$

Множитель $(x+1)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x = -1$ и положителен при $x \neq -1$. Чтобы произведение было строго положительным, необходимо, чтобы оба множителя были положительны и не равны нулю. Следовательно, должны одновременно выполняться два условия: $x+3 > 0$ и $(x+1)^2 \neq 0$.

Из первого условия получаем $x > -3$. Из второго условия получаем $x \neq -1$.

Объединяя эти два условия, получаем, что $x$ должен быть больше -3, но не равен -1.

Ответ: $(-3, -1) \cup (-1, \infty)$

3) $y = \sqrt{(x+4)^2(x-3)}$

Область определения функции определяется условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(x+4)^2(x-3) \ge 0$

Множитель $(x+4)^2$ всегда неотрицателен для любого значения $x$. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: $(x+4)^2 = 0$. Это происходит при $x = -4$. Неравенство превращается в $0 \cdot (-7) \ge 0$, что является верным ($0 \ge 0$). Значит, $x = -4$ входит в область определения.

Случай 2: $(x+4)^2 > 0$. Это верно для всех $x \neq -4$. В этом случае, чтобы всё произведение было неотрицательным, необходимо, чтобы второй множитель был неотрицателен: $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что в область определения входят точка $x=-4$ и промежуток $[3, \infty)$.

Ответ: $\{-4\} \cup [3, \infty)$

5.17. Найдите $\max_M f(x)$ и $\min_M f(x)$, если:

1) $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbf{R}$;

2) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}, M = D(f)$.

1) $f(x) = x^2 - 6x + 10, M = \mathbb{R}$

Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума (в вершине параболы), но не ограничена сверху, то есть не имеет максимального значения на множестве всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Чтобы найти минимальное значение, найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.

Минимальное значение функции будет равно значению функции в этой точке:

$\min_{M} f(x) = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1$.

Другой способ — выделить полный квадрат:

$f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 10 = (x-3)^2 + 1$.

Поскольку выражение $(x-3)^2$ всегда неотрицательно, его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x=3$. Следовательно, наименьшее значение всей функции равно $0 + 1 = 1$.

Максимального значения у функции нет, так как при $x \to \pm\infty$, значение $f(x) \to +\infty$.

Ответ: $\min_{M} f(x) = 1$, $\max_{M} f(x)$ не существует.

2) $f(x) = \sqrt{16 - x^2}, M = D(f)$

Вначале найдем область определения функции $D(f)$, которая и является множеством $M$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$16 - x^2 \ge 0$

$x^2 \le 16$

$-4 \le x \le 4$

Итак, $M = D(f) = [-4, 4]$.

Теперь нам нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на этом отрезке. Функция $y = \sqrt{t}$ является возрастающей, поэтому её наибольшее и наименьшее значения достигаются там же, где и у подкоренного выражения $g(x) = 16 - x^2$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 16 - x^2$ на отрезке $[-4, 4]$. Её график — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0$.

Максимальное значение $g(x)$ на отрезке $[-4, 4]$:

$g_{max} = g(0) = 16 - 0^2 = 16$.

Минимальное значение $g(x)$ на отрезке $[-4, 4]$ будет достигаться на его концах:

$g(-4) = 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0$.

$g(4) = 16 - 4^2 = 16 - 16 = 0$.

Значит, $g_{min} = 0$.

Теперь найдем значения для исходной функции $f(x)$:

Наибольшее значение: $\max_{M} f(x) = \sqrt{g_{max}} = \sqrt{16} = 4$ (достигается при $x=0$).

Наименьшее значение: $\min_{M} f(x) = \sqrt{g_{min}} = \sqrt{0} = 0$ (достигается при $x=-4$ и $x=4$).

Ответ: $\max_{M} f(x) = 4$, $\min_{M} f(x) = 0$.