Страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют функцией?

2. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$?

3. Назовите способы задания функции.

4. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$?

5. Какую функцию называют чётной; нечётной?

6. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?

1. Что называют функцией?

Функцией называют правило или закон, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения функции) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$ (называемого областью значений функции).

Обозначается это как $y = f(x)$, где:

• $x$ — независимая переменная или аргумент.
• $y$ — зависимая переменная или значение функции.
• $f$ — сама функция (правило соответствия).

Ключевым свойством функции является однозначность: одному значению аргумента $x$ может соответствовать только одно значение функции $y$.

Ответ: Функцией называется зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению переменной $x$ из некоторого множества $X$ соответствует единственное значение переменной $y$ из множества $Y$.

2. Какое отображение называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y?

Взаимно однозначным отображением (или биекцией) множества $X$ на множество $Y$ называют такое отображение (функцию) $f: X \to Y$, которое удовлетворяет двум условиям:

1. Инъективность (отображение «в»): Разным элементам множества $X$ соответствуют разные элементы множества $Y$. То есть, если $x_1 \neq x_2$ (где $x_1, x_2 \in X$), то $f(x_1) \neq f(x_2)$.

2. Сюръективность (отображение «на»): Каждый элемент множества $Y$ является образом хотя бы одного элемента из множества $X$. То есть, для любого $y \in Y$ найдётся такой $x \in X$, что $f(x) = y$.

Таким образом, при взаимно однозначном отображении каждому элементу из $X$ соответствует ровно один элемент из $Y$, и наоборот, каждому элементу из $Y$ соответствует ровно один элемент из $X$.

Ответ: Взаимно однозначным отображением множества $X$ на множество $Y$ называют такое отображение, при котором каждый элемент из $X$ сопоставлен с единственным элементом из $Y$, и каждый элемент из $Y$ сопоставлен с единственным элементом из $X$.

3. Назовите способы задания функции.

Существует несколько основных способов задания функции:

• Аналитический способ: Функция задаётся с помощью математической формулы, которая устанавливает, какие вычислительные операции нужно произвести над аргументом $x$, чтобы найти значение функции $y$. Например, $y = x^2 + 2x - 1$. Это наиболее распространённый способ.

• Табличный способ: Функция задаётся с помощью таблицы, в которой для ряда значений аргумента указываются соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется при работе с экспериментальными данными.

• Графический способ: Функция задаётся с помощью графика — множества всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты — соответствующими значениями функции. Этот способ даёт наглядное представление о поведении функции.

• Словесный способ: Правило, задающее функцию, описывается словами. Например: "каждому натуральному числу $x$ ставится в соответствие сумма его цифр".

Ответ: Основные способы задания функции: аналитический (формулой), табличный, графический и словесный.

4. Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве M?

Наибольшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$ (подмножестве области определения) называют такое число $y_{max}$, для которого выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0 \in M$ такая, что $f(x_0) = y_{max}$.
2. Для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \le y_{max}$.

Обозначение: $\max_{x \in M} f(x)$.

Наименьшим значением функции $f(x)$ на множестве $M$ называют такое число $y_{min}$, для которого выполняются два условия:

1. Существует точка $x_0 \in M$ такая, что $f(x_0) = y_{min}$.
2. Для любого $x \in M$ выполняется неравенство $f(x) \ge y_{min}$.

Обозначение: $\min_{x \in M} f(x)$.

Ответ: Наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве $M$ называют такое значение, которое функция принимает хотя бы в одной точке этого множества и которое не меньше (не больше) всех остальных значений функции на этом множестве.

5. Какую функцию называют чётной; нечётной?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Пример: $f(x) = x^2$, $f(x) = \cos(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно нуля.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Пример: $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (например, область определения несимметрична или $f(-x)$ не равно ни $f(x)$, ни $-f(x)$), то функция называется функцией общего вида (ни чётной, ни нечётной).

Ответ: Чётной называют функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Нечётной — функцию, у которой для любого $x$ из симметричной области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

6. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?

Свойства графиков чётных и нечётных функций напрямую следуют из их определений.

График чётной функции:

Так как для чётной функции $f(-x) = f(x)$, то точки с противоположными абсциссами $(x, f(x))$ и $(-x, f(-x))$ имеют одинаковые ординаты. Такие точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$). Следовательно, весь график чётной функции симметричен относительно оси $Oy$.

График нечётной функции:

Так как для нечётной функции $f(-x) = -f(x)$, то точки с противоположными абсциссами $(x, f(x))$ и $(-x, f(-x))$ имеют и противоположные ординаты. Такие точки симметричны относительно начала координат $(0, 0)$. Следовательно, весь график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$). График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

5.1. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{x}{|x|-7}$;

2) $f(x) = \frac{\sqrt{x-4}}{\sqrt{x+2}} + \frac{4x-3}{x^2-7x+6}$.

1)

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция представляет собой дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

Запишем это условие:

$|x| - 7 \neq 0$

Решим это неравенство:

$|x| \neq 7$

Это означает, что $x$ не может быть равен $7$ и $-7$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $x = -7$ и $x = 7$.

Ответ: $(-\infty; -7) \cup (-7; 7) \cup (7; \infty)$

2)

Данная функция является суммой двух дробей. Область определения функции находится как пересечение областей определения каждого слагаемого. Для этого необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны, а все знаменатели не были равны нулю.

Составим систему условий:

$\begin{cases} x - 4 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение в числителе)} \\ x + 2 > 0 & \text{(подкоренное выражение в знаменателе, строго больше нуля)} \\ x^2 - 7x + 6 \neq 0 & \text{(знаменатель второй дроби)} \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности:

1. $x - 4 \ge 0 \implies x \ge 4$

2. $x + 2 > 0 \implies x > -2$

3. $x^2 - 7x + 6 \neq 0$. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий: $x \ge 4$, $x > -2$, $x \neq 1$ и $x \neq 6$.

Условие $x \ge 4$ является самым строгим из первых двух, и оно автоматически удовлетворяет условиям $x > -2$ и $x \neq 1$.

Остается только учесть ограничение $x \neq 6$ для множества $x \ge 4$.

Таким образом, область определения функции — это все числа из промежутка $[4; \infty)$, за исключением числа 6.

Ответ: $[4; 6) \cup (6; \infty)$

5.2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$;

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2-8x}$.

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Данная функция состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для нахождения области определения необходимо, чтобы оба выражения были определены.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.
$x + 4 \geq 0$
$x \geq -4$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$

Таким образом, область определения функции состоит из всех значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \geq -4$ и $x \neq -1$.

На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке -4, с "выколотой" точкой -1. Это множество можно представить в виде объединения двух промежутков: $[-4; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}$

Для нахождения области определения этой функции также необходимо учесть два условия, исходя из ее структуры:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$8 - x \geq 0$
$8 \geq x$
$x \leq 8$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 8x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки, чтобы найти корни уравнения $x^2 - 8x = 0$:
$x(x - 8) \neq 0$
Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Следовательно:
$x \neq 0$ и $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.

Теперь объединим все полученные условия: $x \leq 8$, $x \neq 0$ и $x \neq 8$.

Условие $x \leq 8$ вместе с условием $x \neq 8$ эквивалентно строгому неравенству $x < 8$. Добавляя к этому условие $x \neq 0$, получаем, что область определения состоит из всех действительных чисел, меньших 8, за исключением нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 8)$.

5.3. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = 5 - x^2$;

2) $f(x) = |x + 2| + 2$;

3) $f(x) = \sqrt{-x^2}$.

1) $f(x) = 5 - x^2$

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y=f(x)$.

Рассмотрим слагаемое $x^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-x^2$ будет всегда неположительным. Умножив предыдущее неравенство на -1, получим: $-x^2 \le 0$.

Теперь прибавим 5 к обеим частям неравенства: $5 - x^2 \le 5$.

Это означает, что $f(x) \le 5$. Наибольшее значение функции равно 5 и достигается при $x=0$. Поскольку $x^2$ может принимать сколь угодно большие значения, $-x^2$ может принимать сколь угодно малые (большие по модулю отрицательные) значения. Следовательно, у функции нет наименьшего значения.

Таким образом, область значений функции — это все числа от $-\infty$ до 5 включительно.

Ответ: $(-\infty; 5]$

2) $f(x) = |x + 2| + 2$

Рассмотрим слагаемое $|x + 2|$. По определению, модуль (абсолютное значение) любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x + 2| \ge 0$.

Прибавив 2 к обеим частям этого неравенства, получим: $|x + 2| + 2 \ge 2$.

Это означает, что $f(x) \ge 2$. Наименьшее значение функции равно 2 и достигается тогда, когда выражение под модулем равно нулю: $x+2=0$, то есть при $x=-2$. Поскольку $|x + 2|$ может принимать сколь угодно большие значения, у функции нет наибольшего значения.

Таким образом, область значений функции — это все числа от 2 включительно до $+\infty$.

Ответ: $[2; +\infty)$

3) $f(x) = \sqrt{-x^2}$

Сначала найдем область определения данной функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть: $-x^2 \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 \le 0$.

В то же время мы знаем, что квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен: $x^2 \ge 0$.

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет условиям $x^2 \le 0$ и $x^2 \ge 0$, это $x^2 = 0$. Отсюда следует, что $x=0$.

Таким образом, область определения функции состоит из единственной точки $x=0$. Чтобы найти область значений, подставим это значение в функцию:

$f(0) = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$.

Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит только из одного этого значения.

Ответ: $\{0\}$

5.4. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = x^2 + 3;$

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x};$

3) $f(x) = (\sqrt{x})^2.$

1) $f(x) = x^2 + 3$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать функция $f(x)$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \geq 0$.
Минимальное значение выражения $x^2$ равно 0, и оно достигается при $x=0$.
Соответственно, минимальное значение для всей функции $f(x) = x^2 + 3$ будет $0 + 3 = 3$.
Поскольку $x^2$ может быть сколь угодно большим, функция $f(x)$ не имеет максимального значения и может принимать любые значения, большие или равные 3.
Таким образом, область значений функции — это промежуток от 3, включая 3, до плюс бесконечности.
Ответ: $[3; +\infty)$.

2) $f(x) = 6 - \sqrt{x}$

Сначала определим область определения функции. Так как подкоренное выражение не может быть отрицательным, то $x \geq 0$.
Значение арифметического квадратного корня $\sqrt{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt{x} \geq 0$.
Умножим это неравенство на -1, что приведет к изменению знака неравенства на противоположный: $-\sqrt{x} \leq 0$.
Теперь прибавим 6 к обеим частям неравенства: $6 - \sqrt{x} \leq 6$.
Таким образом, $f(x) \leq 6$. Это означает, что максимальное значение функции равно 6. Оно достигается при $\sqrt{x}=0$, то есть при $x=0$.
Поскольку $x$ может быть сколь угодно большим, $\sqrt{x}$ также может быть сколь угодно большим, а значит выражение $6 - \sqrt{x}$ может принимать сколь угодно малые значения (стремится к $-\infty$).
Следовательно, область значений функции — это все числа, меньшие или равные 6.
Ответ: $(-\infty; 6]$.

3) $f(x) = (\sqrt{x})^2$

Область определения данной функции задается условием неотрицательности подкоренного выражения: $x \geq 0$.
Для всех $x$ из области определения (т.е. для всех $x \geq 0$) справедливо тождество $(\sqrt{x})^2 = x$.
Таким образом, задача сводится к нахождению области значений функции $f(x) = x$ при условии, что ее аргумент $x$ принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.
Если $x$ может принимать любое неотрицательное значение, то и значение функции $f(x)$, которое равно $x$, также будет принимать любое неотрицательное значение.
Значит, область значений функции — это все числа, большие или равные 0.
Ответ: $[0; +\infty)$.

5.5. Какая из функций является взаимно однозначным отображением множества D(y) на множество E(y):

1) $y = 2x + 1;$ 2) $y = |x|;$ 3) $y = \sqrt{x}?$

Взаимно однозначное отображение множества $D(y)$ (область определения) на множество $E(y)$ (область значений) — это такое отображение, при котором каждому элементу из $E(y)$ соответствует ровно один элемент из $D(y)$. Такое отображение также называют биекцией. По определению, любая функция является отображением «на» свою область значений $E(y)$ (это свойство называется сюръективностью). Следовательно, для того чтобы отображение было взаимно однозначным, оно должно быть инъективным. Инъективность означает, что разным значениям аргумента $x$ соответствуют разные значения функции $y$. То есть, если $x_1 \ne x_2$, то $y(x_1) \ne y(x_2)$.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

1) $y = 2x + 1$;

Это линейная функция. Её область определения $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Область значений $E(y)$ также является множеством всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Предположим, что для двух аргументов $x_1$ и $x_2$ значения функции равны: $y(x_1) = y(x_2)$.
$2x_1 + 1 = 2x_2 + 1$
$2x_1 = 2x_2$
$x_1 = x_2$
Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является инъективной. Следовательно, она является взаимно однозначным отображением своего множества определения на множество значений.

2) $y = |x|$;

Это функция модуля. Её область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$, а область значений $E(y) = [0, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Найдём два различных аргумента, для которых значения функции совпадают. Например, возьмём $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
$y(-2) = |-2| = 2$
$y(2) = |2| = 2$
Поскольку $x_1 \ne x_2$, но при этом $y(x_1) = y(x_2)$, функция не является инъективной. Следовательно, она не является взаимно однозначным отображением.

3) $y = \sqrt{x}$?

Это функция арифметического квадратного корня. Её область определения $D(y)$ — это множество всех неотрицательных действительных чисел, $D(y) = [0, +\infty)$. Область значений $E(y)$ также состоит из всех неотрицательных действительных чисел, $E(y) = [0, +\infty)$.
Проверим эту функцию на инъективность. Предположим, что для двух аргументов $x_1, x_2$ из области определения, значения функции равны: $y(x_1) = y(x_2)$.
$\sqrt{x_1} = \sqrt{x_2}$
Возводя обе части равенства в квадрат, получаем:
$x_1 = x_2$
Так как из равенства значений функции следует равенство аргументов, функция является инъективной. Следовательно, она также является взаимно однозначным отображением.

Таким образом, две из предложенных функций, $y = 2x + 1$ и $y = \sqrt{x}$, удовлетворяют условию задачи.

Ответ: $y=2x+1$ и $y=\sqrt{x}$.

5.6. Найдите нули функции:

1) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$;

2) $y = x\sqrt{x-1}$;

3) $y = |x|-x$;

4) $y = \{x\}$;

5) $y = \mathfrak{D}(x)$.

1) $y = \sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1}$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Приравниваем функцию к нулю:

$\sqrt{x-1} \cdot \sqrt{x+1} = 0$

Прежде всего, найдем область определения функции (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 1 \\ x \ge -1 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge 1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

а) $\sqrt{x-1} = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Это значение принадлежит ОДЗ.

б) $\sqrt{x+1} = 0 \Rightarrow x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Это значение не принадлежит ОДЗ, так как $-1 < 1$.

Следовательно, единственным нулем функции является $x = 1$.

Ответ: 1.

2) $y = x\sqrt{x-1}$

Приравниваем функцию к нулю: $x\sqrt{x-1} = 0$.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

ОДЗ: $x \in [1, +\infty)$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

а) $x = 0$.

Это значение не принадлежит ОДЗ, так как $0 < 1$.

б) $\sqrt{x-1} = 0 \Rightarrow x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

Это значение принадлежит ОДЗ.

Следовательно, единственным нулем функции является $x = 1$.

Ответ: 1.

3) $y = |x| - x$

Приравниваем функцию к нулю: $|x| - x = 0$, что эквивалентно $|x| = x$.

Область определения функции – все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

По определению модуля числа, равенство $|x| = x$ выполняется для всех неотрицательных чисел.

Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и уравнение принимает вид $x - x = 0$, что верно для любого $x \ge 0$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и уравнение принимает вид $-x - x = 0$, или $-2x=0$, откуда $x=0$. Но это противоречит условию $x < 0$.

Таким образом, нулями функции являются все числа из промежутка $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

4) $y = \{x\}$

Здесь $\{x\}$ обозначает дробную часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ – целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).

Приравниваем функцию к нулю: $\{x\} = 0$.

Это означает, что $x - \lfloor x \rfloor = 0$, или $x = \lfloor x \rfloor$.

Равенство $x = \lfloor x \rfloor$ справедливо тогда и только тогда, когда $x$ является целым числом.

Следовательно, нулями функции являются все целые числа.

Ответ: $\mathbb{Z}$ (множество всех целых чисел).

5) $y = \mathcal{D}(x)$

Функция $\mathcal{D}(x)$ – это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:

$\mathcal{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ – рациональное число } (x \in \mathbb{Q}) \\ 0, & \text{если } x \text{ – иррациональное число } (x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \end{cases}$

Нам нужно найти значения $x$, при которых $y = \mathcal{D}(x) = 0$.

Согласно определению функции Дирихле, это условие выполняется для всех иррациональных чисел.

Ответ: множество всех иррациональных чисел ($\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$).

5.7. Найдите нули функции:

1) $y = |x| + x;$

2) $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}};$

3) $y = [x];$

4) $y = x\mathfrak{D}(x).$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для нахождения нулей функции $y = |x| + x$ необходимо решить уравнение $|x| + x = 0$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
а) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Полученное значение $x=0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является корнем уравнения.
б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$-x + x = 0$
$0 = 0$
Это верное тождество, которое означает, что решением уравнения являются все значения $x$, удовлетворяющие условию $x < 0$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем, что нулями функции являются все неположительные числа, то есть $x \le 0$.
Ответ: $(-\infty, 0]$.

2) Чтобы найти нули функции $y = \frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}}$, приравняем ее к нулю:
$\frac{x^2 - 9}{\sqrt{x - 2}} = 0$
Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Так как подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, имеем:
$x - 2 > 0 \implies x > 2$
ОДЗ: $x \in (2, +\infty)$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель уже учтено в ОДЗ. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_1 = 3, x_2 = -3$
Проверим, входят ли найденные корни в область определения функции:
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это нуль функции.
$x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 2$, значит, это посторонний корень.
Ответ: $3$.

3) Функция $y = [x]$ — это целая часть числа $x$ (антье), то есть наибольшее целое число, не превосходящее $x$. Чтобы найти нули этой функции, решим уравнение:
$[x] = 0$
Согласно определению целой части числа, это равенство означает, что 0 является наибольшим целым числом, которое меньше или равно $x$. Это условие выполняется для всех $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству:
$0 \le x < 1$
Следовательно, нулями функции являются все числа из полуинтервала $[0, 1)$.
Ответ: $[0, 1)$.

4) Функция $\mathfrak{D}(x)$ — это функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
$\mathfrak{D}(x) = \begin{cases} 1, & \text{если } x \text{ — рациональное число} \\ 0, & \text{если } x \text{ — иррациональное число} \end{cases}$
Для нахождения нулей функции $y = x\mathfrak{D}(x)$ решим уравнение:
$x\mathfrak{D}(x) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:
а) Первый множитель равен нулю: $x = 0$.
Проверим это значение. Число 0 является рациональным, поэтому $\mathfrak{D}(0) = 1$. Тогда $y = 0 \cdot \mathfrak{D}(0) = 0 \cdot 1 = 0$. Значит, $x = 0$ является нулем функции.
б) Второй множитель равен нулю: $\mathfrak{D}(x) = 0$.
По определению функции Дирихле, это равенство выполняется для всех иррациональных чисел $x$. Для любого иррационального числа $x$ имеем $y = x \cdot 0 = 0$. Таким образом, все иррациональные числа являются нулями функции.
Объединяя результаты, получаем, что нули функции — это $x=0$ и все иррациональные числа.
Ответ: $0$ и все иррациональные числа.

5.8. Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) $y = \sqrt{x - 1}$;

2) $y = |x + 1|$;

3) $y = \sqrt{x(x - 1)^2}$;

4) $y = \{x\}$.

1) $y = \sqrt{x - 1}$

Для нахождения промежутков знакопостоянства функции необходимо определить, на каких интервалах функция принимает положительные значения ($y > 0$), а на каких — отрицательные ($y < 0$).

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Область определения $D(y) = [1, +\infty)$.

По определению, арифметический квадратный корень всегда принимает неотрицательные значения, то есть $y = \sqrt{x - 1} \ge 0$ для всех $x$ из области определения. Следовательно, у функции нет промежутков, где она отрицательна.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$\sqrt{x - 1} > 0$
$x - 1 > 0$
$x > 1$
Таким образом, функция положительна на интервале $(1, +\infty)$.

В точке $x=1$ функция обращается в ноль: $y(1) = \sqrt{1-1} = 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

2) $y = |x + 1|$

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Функция модуля всегда принимает неотрицательные значения: $y = |x + 1| \ge 0$. Следовательно, у функции нет промежутков, где она отрицательна.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$|x + 1| > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, при которых выражение под модулем равно нулю.
$x + 1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Таким образом, функция положительна на объединении интервалов $(-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

В точке $x=-1$ функция обращается в ноль: $y(-1) = |-1+1| = 0$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

3) $y = \sqrt{x(x - 1)^2}$

Сначала найдём область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:
$x(x - 1)^2 \ge 0$.
Поскольку $(x - 1)^2 \ge 0$ для любого $x$, знак всего выражения определяется знаком множителя $x$. Следовательно, неравенство выполняется при $x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0, +\infty)$.

Как и в предыдущих случаях, арифметический квадратный корень неотрицателен, поэтому $y \ge 0$ на всей области определения. Промежутков, где $y < 0$, нет.

Найдём промежутки, где функция строго положительна ($y > 0$):
$\sqrt{x(x - 1)^2} > 0$
$x(x - 1)^2 > 0$
Это неравенство выполняется, когда оба множителя положительны и не равны нулю: $x > 0$ и $(x-1)^2 > 0$. Второе условие выполняется для всех $x \ne 1$.
Объединяя условия $x > 0$ и $x \ne 1$, получаем, что функция положительна при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Функция обращается в ноль при $x=0$ и $x=1$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$; промежутков, где $y < 0$, нет.

4) $y = \{x\}$

Функция $y = \{x\}$ — это дробная часть числа $x$, которая определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

По определению дробной части, её значения всегда находятся в полуинтервале $[0, 1)$, то есть $0 \le \{x\} < 1$. Следовательно, функция всегда неотрицательна, и промежутков, где $y < 0$, нет.

Функция строго положительна ($y > 0$), когда $x$ не является целым числом. Если $x$ — целое число ($x \in \mathbb{Z}$), то $\{x\} = 0$. Если $x$ не является целым числом ($x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$), то $\{x\} > 0$.

Множество всех нецелых чисел можно представить как объединение интервалов между последовательными целыми числами.

Ответ: $y > 0$ для всех нецелых $x$, то есть при $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (k, k+1)$; промежутков, где $y < 0$, нет.