Номер 5.2, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

5.2. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$;

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2-8x}$.

1) $f(x) = \sqrt{x+4} + \frac{2}{x+1}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл). Данная функция состоит из двух частей: квадратного корня и дроби. Для нахождения области определения необходимо, чтобы оба выражения были определены.

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, так как извлекать квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел нельзя.
$x + 4 \geq 0$
$x \geq -4$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
$x + 1 \neq 0$
$x \neq -1$

Таким образом, область определения функции состоит из всех значений $x$, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно: $x \geq -4$ и $x \neq -1$.

На числовой прямой это выглядит как луч, начинающийся в точке -4, с "выколотой" точкой -1. Это множество можно представить в виде объединения двух промежутков: $[-4; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

Ответ: $D(f) = [-4; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) $f(x) = \sqrt{8-x} + \frac{4}{x^2 - 8x}$

Для нахождения области определения этой функции также необходимо учесть два условия, исходя из ее структуры:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$8 - x \geq 0$
$8 \geq x$
$x \leq 8$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x^2 - 8x \neq 0$
Вынесем $x$ за скобки, чтобы найти корни уравнения $x^2 - 8x = 0$:
$x(x - 8) \neq 0$
Произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю. Следовательно:
$x \neq 0$ и $x - 8 \neq 0$, то есть $x \neq 8$.

Теперь объединим все полученные условия: $x \leq 8$, $x \neq 0$ и $x \neq 8$.

Условие $x \leq 8$ вместе с условием $x \neq 8$ эквивалентно строгому неравенству $x < 8$. Добавляя к этому условие $x \neq 0$, получаем, что область определения состоит из всех действительных чисел, меньших 8, за исключением нуля.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; 8)$.