Номер 4.13, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.13. Предикат $A(p) \equiv \{p - \text{нечётное число}\}$ задан на множестве простых чисел $P$. Укажите истинное высказывание:

1) $(\forall p \in P) A(p);$

2) $\overline{(\forall p \in P) A(p)};$

3) $(\exists p \in P) \overline{A(p)}.$

Для решения задачи проанализируем каждое из предложенных высказываний. Нам дан предикат $A(p) \equiv \{p \text{ — нечётное число}\}$ и множество $P$, которое является множеством всех простых чисел: $P = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots\}$.

1) $(\forall p \in P) A(p)$

Данное высказывание утверждает, что «для любого элемента $p$ из множества простых чисел $P$ предикат $A(p)$ является истинным». Другими словами, «все простые числа являются нечётными». Это утверждение ложно. Чтобы его опровергнуть, достаточно найти хотя бы одно простое число, которое не является нечётным (то есть является чётным). Таким числом является $2$. Число $2$ принадлежит множеству простых чисел $P$, но оно является чётным. Следовательно, высказывание $(\forall p \in P) A(p)$ ложно.
Ответ: Ложь.

2) $\overline{(\forall p \in P) A(p)}$

Это высказывание является отрицанием высказывания из пункта 1. Оно читается как: «Неверно, что все простые числа являются нечётными». Поскольку мы уже установили, что утверждение «все простые числа являются нечётными» — ложно, его отрицание будет истинным.
Ответ: Истина.

3) $(\exists p \in P) \overline{A(p)}$

Это высказывание утверждает, что «существует элемент $p$ в множестве простых чисел $P$, для которого предикат $\overline{A(p)}$ является истинным». Предикат $\overline{A(p)}$ является отрицанием предиката $A(p)$, то есть $\overline{A(p)} \equiv \{p \text{ — не является нечётным числом}\} \equiv \{p \text{ — чётное число}\}$. Таким образом, высказывание можно прочитать как: «Существует простое число, которое является чётным». Такое число действительно существует — это число $2$. Оно простое и чётное. Следовательно, данное высказывание истинно.
Также стоит отметить, что по одному из законов де Моргана для кванторов, высказывание $\overline{(\forall p \in P) A(p)}$ логически эквивалентно высказыванию $(\exists p \in P) \overline{A(p)}$. Поскольку мы установили, что высказывание в пункте 2 истинно, то и это высказывание также должно быть истинным.
Ответ: Истина.

Таким образом, истинными являются высказывания 2 и 3. В задаче, вероятно, подразумевается выбор одного из них, но оба являются верными.