Номер 4.12, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.12. Укажите истинные высказывания:

1) $(\forall x \in R) |x| > x;$

2) $(\exists x \in R) |x| \leq 0;$

3) $(\forall n \in N) (n^2 - n) : 2.$

1) $(\forall x \in R) |x| > x$
Данное высказывание утверждает, что для любого действительного числа $x$ его модуль строго больше самого числа. Проверим это утверждение на контрпримере. Возьмем любое неотрицательное число, например, $x = 5$. Для него $|x| = |5| = 5$. Неравенство $5 > 5$ является ложным. Аналогично для $x=0$, неравенство $|0| > 0$ также ложно. Так как для истинности высказывания с квантором всеобщности $(\forall)$ требуется, чтобы условие выполнялось для всех без исключения элементов множества, а мы нашли контрпример, то данное высказывание ложно.
Ответ: высказывание ложно.

2) $(\exists x \in R) |x| \le 0$
Данное высказывание утверждает, что существует такое действительное число $x$, для которого его модуль меньше либо равен нулю. По определению, модуль любого действительного числа — величина неотрицательная, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x \in R$. Таким образом, неравенство $|x| \le 0$ может выполняться только в одном случае: если $|x| = 0$. Это уравнение имеет единственное решение $x = 0$. Поскольку существует хотя бы одно число ($x=0$), удовлетворяющее условию, высказывание с квантором существования $(\exists)$ является истинным.
Ответ: высказывание истинно.

3) $(\forall n \in N) (n^2 - n) \vdots 2$
Данное высказывание утверждает, что для любого натурального числа $n$ выражение $n^2 - n$ делится на 2. Разложим выражение на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$. Это произведение двух последовательных целых чисел. В любой паре последовательных чисел одно всегда является четным, а другое — нечетным. Произведение четного числа на любое целое число всегда является четным, то есть делится на 2. Следовательно, выражение $n(n - 1)$ всегда делится на 2 для любого натурального $n$. Таким образом, высказывание истинно.
Ответ: высказывание истинно.