Номер 4.10, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.10. Среди предикатов, заданных на множестве $R$, укажите равносильные:

$A(x) \equiv \{-x^2 = 2\}$;

$C(x) \equiv {\lfloor x \rfloor > x}$;

$B(x) \equiv \{(x - 3)^2 > 0\}$;

$D(x) \equiv \left\{\frac{x - 3}{x - 3} = 1\right\}$.

Два предиката называются равносильными (эквивалентными), если их множества истинности совпадают. Множество истинности предиката — это множество всех значений переменной из заданной области (в данном случае, множество действительных чисел $R$), при которых предикат обращается в истинное высказывание.

Для определения равносильных предикатов найдем множество истинности для каждого из них.

A(x) ≡ {-x² = 2}
Рассмотрим уравнение $-x^2 = 2$. Умножив обе части на $-1$, получим равносильное уравнение $x^2 = -2$.
Поскольку квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным ($x^2 \ge 0$), данное уравнение не имеет решений на множестве действительных чисел $R$.
Следовательно, множество истинности предиката $A(x)$ является пустым множеством: $T_A = \emptyset$.

B(x) ≡ {(x - 3)² > 0}
Рассмотрим неравенство $(x - 3)^2 > 0$. Выражение $(x - 3)^2$ является квадратом действительного числа и, следовательно, всегда неотрицательно: $(x - 3)^2 \ge 0$.
Равенство нулю, $(x - 3)^2 = 0$, достигается только в одном случае: когда $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$.
Таким образом, строгое неравенство $(x - 3)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = 3$.
Множество истинности предиката $B(x)$ — это множество всех действительных чисел, кроме 3: $T_B = R \setminus \{3\}$.

C(x) ≡ {[x] > x}
В данном предикате $[x]$ обозначает функцию "целая часть числа" (антье, или "пол"), то есть наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.
По определению функции целой части, для любого действительного числа $x$ всегда выполняется неравенство $[x] \le x$.
Следовательно, условие $[x] > x$ не может быть выполнено ни для какого действительного числа $x$.
Множество истинности предиката $C(x)$ является пустым множеством: $T_C = \emptyset$.

D(x) ≡ { (x-3)/(x-3) = 1 }
Рассмотрим уравнение $\frac{x-3}{x-3} = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 3 \ne 0$, то есть $x \ne 3$.
Для всех $x$ из ОДЗ ($x \ne 3$) числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю, поэтому их частное равно 1. Уравнение принимает вид $1=1$, что является верным тождеством.
Следовательно, множество истинности предиката $D(x)$ совпадает с его областью допустимых значений: $T_D = R \setminus \{3\}$.

Теперь сравним полученные множества истинности:
$T_A = \emptyset$
$T_B = R \setminus \{3\}$
$T_C = \emptyset$
$T_D = R \setminus \{3\}$
Мы видим, что множества истинности предикатов $A(x)$ и $C(x)$ совпадают ($T_A = T_C$), и множества истинности предикатов $B(x)$ и $D(x)$ также совпадают ($T_B = T_D$).
Ответ: Равносильными являются следующие пары предикатов: $A(x)$ и $C(x)$; $B(x)$ и $D(x)$.