Номер 4.11, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Вентана-граф, Москва, 2017, розового цвета

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.

Тип: Учебник

Серия: алгоритм успеха

Издательство: Вентана-граф

Год издания: 2017 - 2025

Уровень обучения: углублённый

Цвет обложки: розовый

ISBN: 978-5-360-10851-1

Глава 1. Повторение и расширение сведений о множествах, математической логике и функциях. Параграф 4. Предикаты. Операции над предикатами. Виды теорем - номер 4.11, страница 40.

Навигация по странице:

Решение Комментарии

№4.10 Вернуться к содержанию №4.12

№4.11 (с. 40)

Условие. №4.11 (с. 40)

ГДЗ Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич, Поляков Виталий Михайлович, издательство Вентана-граф, Москва, 2017, розового цвета, страница 40, номер 4.11, Условие

4.11. Предикаты A(x), B(x) и C(x) заданы на множестве M. Докажите, что:

1) $(A(x) \wedge B(x)) \wedge C(x) \equiv A(x) \wedge (B(x) \wedge C(x));$

2) $(A(x) \vee B(x)) \vee C(x) \equiv A(x) \vee (B(x) \vee C(x));$

3) $A(x) \vee (B(x) \wedge C(x)) \equiv (A(x) \vee B(x)) \wedge (A(x) \vee C(x));$

4) $\overline{A(x) \wedge B(x)} \equiv \overline{A(x)} \vee \overline{B(x)};$

5) $\overline{A(x) \vee B(x)} \equiv \overline{A(x)} \wedge \overline{B(x)}.$

Решение. №4.11 (с. 40)

Для доказательства данных тождеств воспользуемся методом построения таблиц истинности. Для любого элемента $x \in M$ предикаты $A(x)$, $B(x)$ и $C(x)$ принимают значение "истина" (И) или "ложь" (Л). Тождество считается доказанным, если столбцы таблиц истинности для левой и правой частей равенства совпадают при всех возможных наборах значений предикатов.

1) $(A(x) \land B(x)) \land C(x) \equiv A(x) \land (B(x) \land C(x))$

Это свойство ассоциативности конъюнкции. Составим таблицу истинности.

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \land B(x)$	$(A(x) \land B(x)) \land C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \land (B(x) \land C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	И	И	И	И	И

Столбцы для $(A(x) \land B(x)) \land C(x)$ и $A(x) \land (B(x) \land C(x))$ полностью совпадают. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

2) $(A(x) \lor B(x)) \lor C(x) \equiv A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$

Это свойство ассоциативности дизъюнкции. Составим таблицу истинности.

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \lor B(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$	$B(x) \lor C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

Столбцы для $(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$ и $A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$ идентичны, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

3) $A(x) \lor (B(x) \land C(x)) \equiv (A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$

Это свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции. Составим таблицу истинности.

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \land C(x))$	$A(x) \lor B(x)$	$A(x) \lor C(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И	И
И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И	И

Столбцы для $A(x) \lor (B(x) \land C(x))$ и $(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$ полностью совпадают, следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество доказано.

4) $\overline{A(x) \land B(x)} \equiv \overline{A(x)} \lor \overline{B(x)}$

Это один из законов де Моргана. Черта сверху обозначает операцию отрицания. Докажем тождество с помощью таблицы истинности.

$A(x)$	$B(x)$	$A(x) \land B(x)$	$\overline{A(x) \land B(x)}$	$\overline{A(x)}$	$\overline{B(x)}$	$\overline{A(x)} \lor \overline{B(x)}$
Л	Л	Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	И	Л	И
И	Л	Л	И	Л	И	И
И	И	И	Л	Л	Л	Л

Столбцы для $\overline{A(x) \land B(x)}$ и $\overline{A(x)} \lor \overline{B(x)}$ совпадают, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

5) $\overline{A(x) \lor B(x)} \equiv \overline{A(x)} \land \overline{B(x)}$

Это второй закон де Моргана. Докажем его с помощью таблицы истинности.

$A(x)$	$B(x)$	$A(x) \lor B(x)$	$\overline{A(x) \lor B(x)}$	$\overline{A(x)}$	$\overline{B(x)}$	$\overline{A(x)} \land \overline{B(x)}$
Л	Л	Л	И	И	И	И
Л	И	И	Л	И	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	И	Л
И	И	И	Л	Л	Л	Л

Столбцы для $\overline{A(x) \lor B(x)}$ и $\overline{A(x)} \land \overline{B(x)}$ совпадают, что доказывает тождество.

Ответ: Тождество доказано.

Другие задания:

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

4.15

Вопросы?

5.1

5.2

стр. 48

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 4.11 расположенного на странице 40 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №4.11 (с. 40), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \land B(x)$	$(A(x) \land B(x)) \land C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \land (B(x) \land C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \lor B(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$	$B(x) \lor C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \land C(x))$	$A(x) \lor B(x)$	$A(x) \lor C(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И	И
И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \land B(x)$	$(A(x) \land B(x)) \land C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \land (B(x) \land C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \lor B(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$	$B(x) \lor C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \land C(x))$	$A(x) \lor B(x)$	$A(x) \lor C(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И	И
И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И	И

Номер 4.11, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Популярные ГДЗ в 10 классе

Навигация по странице:

Другие задания:

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \land B(x)$	$(A(x) \land B(x)) \land C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \land (B(x) \land C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	Л
И	Л	И	Л	Л	Л	Л
И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$A(x) \lor B(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \lor C(x)$	$B(x) \lor C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	И	И	И
Л	И	Л	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	Л	И
И	Л	И	И	И	И	И
И	И	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И

$A(x)$	$B(x)$	$C(x)$	$B(x) \land C(x)$	$A(x) \lor (B(x) \land C(x))$	$A(x) \lor B(x)$	$A(x) \lor C(x)$	$(A(x) \lor B(x)) \land (A(x) \lor C(x))$
Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	Л	И	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	И	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	И	И	И
И	И	Л	Л	И	И	И	И
И	И	И	И	И	И	И	И