Номер 4.7, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.7. На множестве R заданы предикаты $P(x) \equiv \{x > 2\}$, $Q(x) \equiv \{x > 5\}$.

Укажите область истинности предиката: 1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$; 2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

На множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ заданы два предиката: $P(x) \equiv \{x > 2\}$, область истинности которого — множество $T_P = (2, +\infty)$. $Q(x) \equiv \{x > 5\}$, область истинности которого — множество $T_Q = (5, +\infty)$.

Областью истинности сложного предиката, построенного с помощью логической операции импликации ($A \Rightarrow B$), является множество всех значений переменной $x$, при которых этот предикат обращается в истинное высказывание. Импликация $A \Rightarrow B$ ложна только в том случае, когда посылка $A$ истинна, а заключение $B$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Также можно использовать логическую эквивалентность: $A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B$. Область истинности для дизъюнкции ($\lor$) является объединением областей истинности её составляющих.

Чтобы найти область истинности предиката $P(x) \Rightarrow Q(x)$, определим, при каких значениях $x$ он является истинным.

Способ 1: через эквивалентную формулу.
Предикат $P(x) \Rightarrow Q(x)$ эквивалентен $\neg P(x) \lor Q(x)$.
1. Найдём область истинности для $\neg P(x)$. Предикат $P(x)$ — это "$x > 2$". Его отрицание $\neg P(x)$ — это "$x \le 2$". Область истинности для $\neg P(x)$ есть множество $(-\infty, 2]$.
2. Область истинности для $Q(x)$ нам дана: $(5, +\infty)$.
3. Область истинности для $\neg P(x) \lor Q(x)$ является объединением областей истинности $\neg P(x)$ и $Q(x)$.
Таким образом, искомое множество: $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$.

Способ 2: через определение ложности импликации.
Импликация $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложна тогда и только тогда, когда $P(x)$ истинно, а $Q(x)$ ложно.
1. $P(x)$ истинно при $x > 2$.
2. $Q(x)$ ложно при $x \le 5$.
Оба условия должны выполняться одновременно: $x > 2$ и $x \le 5$. Это соответствует интервалу $(2, 5]$.
Следовательно, предикат $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложен на интервале $(2, 5]$ и истинен на всём остальном множестве действительных чисел $\mathbb{R}$.
Область истинности: $\mathbb{R} \setminus (2, 5]$, что равно $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$

Теперь найдём область истинности для предиката $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

Способ 1: через эквивалентную формулу.
Предикат $Q(x) \Rightarrow P(x)$ эквивалентен $\neg Q(x) \lor P(x)$.
1. Найдём область истинности для $\neg Q(x)$. Предикат $Q(x)$ — это "$x > 5$". Его отрицание $\neg Q(x)$ — это "$x \le 5$". Область истинности для $\neg Q(x)$ есть множество $(-\infty, 5]$.
2. Область истинности для $P(x)$ нам дана: $(2, +\infty)$.
3. Область истинности для $\neg Q(x) \lor P(x)$ является объединением областей истинности $\neg Q(x)$ и $P(x)$.
Искомое множество: $(-\infty, 5] \cup (2, +\infty)$. Это объединение покрывает всю числовую прямую, то есть равно множеству всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Способ 2: через определение ложности импликации.
Импликация $Q(x) \Rightarrow P(x)$ ложна тогда и только тогда, когда $Q(x)$ истинно, а $P(x)$ ложно.
1. $Q(x)$ истинно при $x > 5$.
2. $P(x)$ ложно при $x \le 2$.
Нужно найти такие $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 5$ и $x \le 2$. Таких чисел не существует, поскольку эти два условия несовместны (пересечение множеств $\{x | x>5\}$ и $\{x | x \le 2\}$ пусто).
Это означает, что предикат $Q(x) \Rightarrow P(x)$ никогда не бывает ложным. Следовательно, он истинен для любого действительного числа $x$.

Ответ: $\mathbb{R}$ (или $(-\infty, +\infty)$)