Страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Как называют утверждения, зависящие от переменных?

2. Перечислите основные операции над предикатами.

3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования?

4. Перечислите виды теорем.

1. Как называют утверждения, зависящие от переменных?
Утверждения, истинность или ложность которых зависит от значений одной или нескольких переменных, называются предикатами или высказывательными формами. Переменные, входящие в предикат, принадлежат некоторой предметной области (области определения предиката).

Предикат, зависящий от одной переменной $x$, обозначается как $P(x)$, от двух переменных $x$ и $y$ — как $P(x, y)$, и так далее.

Пример:
Рассмотрим предикат $P(x): "x - простое число"$, где переменная $x$ принадлежит множеству натуральных чисел $N$.

• Если $x = 7$, то утверждение "7 - простое число" истинно.
• Если $x = 10$, то утверждение "10 - простое число" ложно.

Таким образом, сам по себе предикат не является истинным или ложным высказыванием, но становится им при подстановке конкретных значений переменных из их области определения.

Ответ: Утверждения, зависящие от переменных, называют предикатами или высказывательными формами.

2. Перечислите основные операции над предикатами.
Над предикатами можно выполнять логические операции, аналогичные операциям над высказываниями. В результате этих операций получаются новые, более сложные предикаты. Кроме того, существуют специфические операции с использованием кванторов, которые превращают предикат в высказывание.

Основные операции:

• Отрицание (инверсия) — операция, которая предикату $P(x)$ ставит в соответствие предикат $\neg P(x)$ (или $\overline{P(x)}$), истинный тогда и только тогда, когда $P(x)$ ложен.
• Конъюнкция (логическое "И") — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \wedge Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда оба предиката, $P(x)$ и $Q(x)$, истинны.
• Дизъюнкция (логическое "ИЛИ") — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \vee Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $P(x)$ или $Q(x)$.
• Импликация (следование) — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \to Q(x)$, который ложен только в одном случае: когда $P(x)$ истинен, а $Q(x)$ ложен.
• Эквивалентность (равносильность) — операция, которая двум предикатам $P(x)$ и $Q(x)$ ставит в соответствие предикат $P(x) \leftrightarrow Q(x)$, истинный тогда и только тогда, когда $P(x)$ и $Q(x)$ принимают одинаковые значения истинности.
• Навешивание квантора общности ($\forall$) — операция, которая по предикату $P(x)$ строит высказывание $\forall x P(x)$ ("для любого $x$, $P(x)$ истинно"). Это высказывание истинно, если предикат $P(x)$ истинен для всех значений $x$ из заданной предметной области.
• Навешивание квантора существования ($\exists$) — операция, которая по предикату $P(x)$ строит высказывание $\exists x P(x)$ ("существует такой $x$, что $P(x)$ истинно"). Это высказывание истинно, если существует хотя бы одно значение $x$ из предметной области, для которого $P(x)$ истинно.

Ответ: Основные операции над предикатами — это отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, а также операции навешивания квантора общности и квантора существования.

3. Какие словосочетания заменяют кванторы общности и существования?
В естественном языке для выражения идей, формализуемых с помощью кванторов, используются различные слова и словосочетания.

Квантор общности ($\forall$):
Этот квантор означает "для всех", "для каждого". В речи его заменяют такие словосочетания, как:

• для любого...
• для каждого...
• для всех...
• всякий...
• каждый...
• все...

Пример: Высказывание "$\forall n \in N: n+1 > n$" читается как "Для любого натурального числа $n$ верно, что $n+1$ больше $n$".

Квантор существования ($\exists$):
Этот квантор означает "существует", "найдется". В речи его заменяют такие словосочетания, как:

• существует (хотя бы один)...
• найдется...
• некоторый...
• хотя бы один...
• можно найти такой...

Пример: Высказывание "$\exists x \in R: x^2 = 2$" читается как "Существует такое действительное число $x$, что его квадрат равен 2".

Ответ: Квантор общности ($\forall$) заменяют словосочетания "для любого", "каждый", "всякий", "для всех". Квантор существования ($\exists$) заменяют словосочетания "существует", "найдется", "некоторый", "хотя бы один".

4. Перечислите виды теорем.
Любую теорему можно представить в виде импликации "Если $A$, то $B$", где $A$ — условие (посылка), а $B$ — заключение. В символической форме это записывается как $A \to B$. В зависимости от того, как изменяются условие и заключение исходной теоремы, выделяют следующие связанные с ней виды теорем:

• Прямая теорема — это исходная теорема.
  Формула: $A \to B$ ("Если $A$, то $B$").
  Пример: Если четырехугольник является квадратом, то в него можно вписать окружность.
• Обратная теорема — получается из прямой заменой местами условия и заключения.
  Формула: $B \to A$ ("Если $B$, то $A$").
  Пример: Если в четырехугольник можно вписать окружность, то он является квадратом (это утверждение ложно, что показывает: истинность прямой теоремы не гарантирует истинность обратной).
• Противоположная теорема — получается из прямой заменой условия и заключения на их отрицания.
  Формула: $\neg A \to \neg B$ ("Если не $A$, то не $B$").
  Пример: Если четырехугольник не является квадратом, то в него нельзя вписать окружность (также ложное утверждение).
• Теорема, противоположная обратной (контрапозитивная) — получается из обратной теоремы заменой условия и заключения на их отрицания (или из прямой теоремы заменой их на отрицания и перестановкой).
  Формула: $\neg B \to \neg A$ ("Если не $B$, то не $A$").
  Пример: Если в четырехугольник нельзя вписать окружность, то он не является квадратом (это утверждение истинно).

Важно отметить, что прямая теорема ($A \to B$) всегда логически эквивалентна теореме, противоположной обратной ($\neg B \to \neg A$).

Ответ: Виды теорем: прямая, обратная, противоположная и противоположная обратной (контрапозитивная).

4.1. Среди данных утверждений укажите предикаты:

1) число $(n+1)^2 - 1$ — составное, $n \in N$;

2) для любого $x \in R$ выполняется равенство $x^2+x+1=0$;

3) модуль действительного числа $x$ больше нуля;

4) неверно, что $n : 5$, $n \in N$;

5) существует такое целое число $x$, что число 1 является его делителем.

Предикат — это утверждение, содержащее одну или несколько переменных, которое становится высказыванием (истинным или ложным) только после подстановки вместо переменных конкретных значений из их области определения. Проанализируем каждое из данных утверждений.

1) число $(n + 1)^2 - 1$ — составное, $n \in N$

Данное утверждение содержит переменную $n$, принадлежащую множеству натуральных чисел $N$. Его истинность зависит от конкретного значения $n$.

Преобразуем выражение: $(n + 1)^2 - 1 = (n^2 + 2n + 1) - 1 = n^2 + 2n = n(n+2)$.

• Если $n=1$, то получаем число $1 \cdot (1+2) = 3$. Число 3 является простым, а не составным, поэтому для $n=1$ утверждение ложно.
• Если $n=2$, то получаем число $2 \cdot (2+2) = 8$. Число 8 является составным, поэтому для $n=2$ утверждение истинно.
• Если $n=3$, то получаем число $3 \cdot (3+2) = 15$. Число 15 является составным, поэтому для $n=3$ утверждение истинно.

Поскольку истинность утверждения меняется в зависимости от значения переменной $n$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

2) для любого $x \in R$ выполняется равенство $x^2 + x + 1 = 0$

Это утверждение является высказыванием, а не предикатом. Оно содержит переменную $x$, но она связана квантором всеобщности («для любого»). Такое утверждение имеет определенное значение истинности (истина или ложь) и не зависит от выбора конкретного значения $x$.

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + x + 1 = 0$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, утверждение о том, что равенство выполняется для любого действительного $x$, является ложным высказыванием.

Ответ: не является предикатом.

3) модуль действительного числа $x$ больше нуля

Это утверждение, которое можно записать в виде $|x| > 0$, содержит переменную $x$. Его истинность зависит от значения этой переменной.

• Если $x=5$, то $|5| > 0$, что является истиной.
• Если $x=-2$, то $|-2| > 0$, что является истиной.
• Если $x=0$, то $|0| > 0$, что является ложью.

Поскольку истинность утверждения зависит от значения переменной $x$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

4) неверно, что $n \vdots 5$, $n \in N$

Это утверждение содержит переменную $n$ из множества натуральных чисел $N$. Его истинность зависит от значения $n$.

• Если $n=7$, то утверждение "неверно, что 7 делится на 5" истинно.
• Если $n=10$, то утверждение "неверно, что 10 делится на 5" ложно, так как $10$ на самом деле делится на $5$.

Поскольку истинность утверждения зависит от значения переменной $n$, оно является предикатом.

Ответ: является предикатом.

5) существует такое целое число $x$, что число 1 является его делителем

Это утверждение является высказыванием. Переменная $x$ в нем связана квантором существования («существует»). Такое утверждение имеет определенное значение истинности.

Число 1 является делителем любого целого числа, так как для любого $x \in Z$ справедливо равенство $x = x \cdot 1$. Следовательно, такое целое число $x$ существует (на самом деле, это верно для любого целого числа). Утверждение является истинным высказыванием.

Ответ: не является предикатом.

4.2. На множестве $ [-2; 3) $ задан предикат

$A(x) = \{x \text{ --- целое число}\}$.

Укажите область истинности этого предиката.

По определению, область истинности предиката $A(x)$ на множестве $M$ — это множество всех тех элементов $x$ из $M$, для которых высказывание $A(x)$ является истинным.

В данной задаче множество $M$ — это числовой промежуток $[-2; 3)$, а предикат $A(x)$ утверждает, что «$x$ — целое число».

Следовательно, нам нужно найти все целые числа, которые принадлежат промежутку $[-2; 3)$. Этот промежуток можно записать в виде двойного неравенства: $-2 \le x < 3$.

Перечислим все целые числа, удовлетворяющие этому неравенству:

• $x = -2$ (условие $-2 \le -2 < 3$ выполняется)
• $x = -1$ (условие $-2 \le -1 < 3$ выполняется)
• $x = 0$ (условие $-2 \le 0 < 3$ выполняется)
• $x = 1$ (условие $-2 \le 1 < 3$ выполняется)
• $x = 2$ (условие $-2 \le 2 < 3$ выполняется)

Следующее целое число, $3$, не входит в промежуток, так как неравенство $x < 3$ для него не выполняется.

Таким образом, область истинности предиката — это множество найденных целых чисел.

Ответ: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$

4.3. На множестве $[0; +\infty)$ задан предикат

$P(x) \equiv \{x^3 - x = 0\}$.

Укажите область истинности этого предиката.

Область истинности предиката $P(x)$ — это множество всех значений переменной $x$ из заданной области $[0; +\infty)$, для которых утверждение $x^3 - x = 0$ является истинным. Чтобы найти это множество, необходимо решить данное уравнение и отобрать корни, принадлежащие указанному промежутку.

Решим уравнение:

$x^3 - x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 1) = 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению в скобках:

$x(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем три корня уравнения:

$x_1 = 0$

$x_2 = 1$

$x_3 = -1$

Теперь проверим, какие из этих корней принадлежат множеству $[0; +\infty)$:

• $x = 0$ принадлежит множеству $[0; +\infty)$.
• $x = 1$ принадлежит множеству $[0; +\infty)$.
• $x = -1$ не принадлежит множеству $[0; +\infty)$, так как $-1 < 0$.

Следовательно, область истинности данного предиката состоит из элементов 0 и 1.

Ответ: $\{0, 1\}$.

4.4. На множестве $R$ заданы предикаты $P(x) \equiv \{x \neq 5\}$, $Q(x) \equiv \{x \neq -2\}$.

Укажите область истинности предиката:

1) $P(x) \wedge Q(x)$

2) $P(x) \vee Q(x)$

Для решения задачи определим области истинности (множества, на которых предикаты истинны) для заданных предикатов $P(x)$ и $Q(x)$ на множестве действительных чисел $R$.

Область истинности предиката $P(x) \equiv \{x \neq 5\}$, обозначим ее $T_P$, представляет собой множество всех действительных чисел, кроме 5. $T_P = \{x \in R \mid x \neq 5\} = R \setminus \{5\}$.

Область истинности предиката $Q(x) \equiv \{x \neq -2\}$, обозначим ее $T_Q$, представляет собой множество всех действительных чисел, кроме -2. $T_Q = \{x \in R \mid x \neq -2\} = R \setminus \{-2\}$.

1) $P(x) \land Q(x)$;

Предикат $P(x) \land Q(x)$ (конъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинны оба предиката $P(x)$ и $Q(x)$ одновременно. Это соответствует одновременному выполнению условий $x \neq 5$ и $x \neq -2$.

Область истинности конъюнкции предикатов является пересечением их областей истинности: $T_{P \land Q} = T_P \cap T_Q = (R \setminus \{5\}) \cap (R \setminus \{-2\})$.

Пересечение этих множеств — это множество всех действительных чисел, за исключением чисел -2 и 5. Таким образом, область истинности равна $R \setminus \{-2, 5\}$.
Ответ: $R \setminus \{-2, 5\}$.

2) $P(x) \lor Q(x)$;

Предикат $P(x) \lor Q(x)$ (дизъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов $P(x)$ или $Q(x)$. Это соответствует выполнению хотя бы одного из условий: $x \neq 5$ или $x \neq -2$.

Область истинности дизъюнкции предикатов является объединением их областей истинности: $T_{P \lor Q} = T_P \cup T_Q = (R \setminus \{5\}) \cup (R \setminus \{-2\})$.

Данный предикат будет ложным только в том случае, когда ложны оба исходных утверждения. Ложность $P(x)$ означает $x=5$, а ложность $Q(x)$ означает $x=-2$. Для того чтобы дизъюнкция $P(x) \lor Q(x)$ была ложной, необходимо, чтобы одновременно выполнялись условия $x=5$ и $x=-2$, что невозможно.

Следовательно, предикат $P(x) \lor Q(x)$ истинен для любого действительного числа $x$. Его область истинности — всё множество действительных чисел $R$.
Ответ: $R$.

4.5. Предикаты $A(n) \equiv \{n : 10\}$, $B(n) \equiv \{n : 5\}$ заданы на множестве $N$.

Укажите область истинности предиката $A(n) \Rightarrow B(n)$.

В задаче даны два предиката на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$:
$A(n) \equiv \{n \vdots 10\}$ (число $n$ делится на 10)
$B(n) \equiv \{n \vdots 5\}$ (число $n$ делится на 5)
Требуется найти область истинности предиката $A(n) \Rightarrow B(n)$.

Область истинности предиката – это множество всех значений переменной $n$, при которых этот предикат обращается в истинное высказывание.

Логическая операция импликации (следование) $P \Rightarrow Q$ является ложной только в одном случае: когда посылка $P$ истинна, а заключение $Q$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Применим это правило к нашему случаю. Предикат $A(n) \Rightarrow B(n)$ будет ложным, если найдется такое натуральное число $n$, для которого $A(n)$ истинно, а $B(n)$ ложно.

• $A(n)$ истинно означает, что $n$ делится на 10.
• $B(n)$ ложно означает, что $n$ не делится на 5.

Проверим, возможно ли это. Если натуральное число $n$ делится на 10, то его можно представить в виде $n = 10k$, где $k$ - некоторое натуральное число. Поскольку $10 = 2 \times 5$, то $n = (2 \times 5)k = 5 \times (2k)$. Из этого следует, что любое число, которое делится на 10, также обязательно делится и на 5.

Таким образом, не существует такого натурального числа $n$, которое бы делилось на 10, но при этом не делилось на 5. Это означает, что ситуация, когда $A(n)$ истинно, а $B(n)$ ложно, невозможна.

Следовательно, импликация $A(n) \Rightarrow B(n)$ никогда не бывает ложной. Это значит, что она истинна для любого натурального числа $n \in \mathbb{N}$.

Областью истинности предиката $A(n) \Rightarrow B(n)$ является всё множество натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Ответ: $\mathbb{N}$ (множество всех натуральных чисел).

4.6. Предикаты $P(x) \equiv \{|x| = -1\}$, $S(x) \equiv \{x + 3 = 0\}$ заданы на множестве $R$. Укажите область истинности предиката $P(x) \Rightarrow S(x)$.

Для того чтобы найти область истинности предиката $P(x) \Rightarrow S(x)$, необходимо сначала определить области истинности для каждого из предикатов $P(x)$ и $S(x)$ на множестве действительных чисел $R$.

1. Найдем область истинности предиката $P(x) \equiv \{|x| = -1\}$.
Уравнение $|x| = -1$ не имеет решений в множестве действительных чисел, так как по определению модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной, т.е. $|x| \ge 0$ для любого $x \in R$. Таким образом, предикат $P(x)$ является ложным для любого действительного числа $x$. Множество истинности для $P(x)$, обозначим его $T_P$, является пустым множеством: $T_P = \emptyset$.

2. Найдем область истинности предиката $S(x) \equiv \{x + 3 = 0\}$.
Уравнение $x + 3 = 0$ имеет единственный корень $x = -3$. Следовательно, предикат $S(x)$ является истинным только при $x = -3$. Множество истинности для $S(x)$, обозначим его $T_S$, есть $T_S = \{-3\}$.

3. Найдем область истинности импликации $P(x) \Rightarrow S(x)$.
Логическая операция импликации ($A \Rightarrow B$) является ложной тогда и только тогда, когда посылка $A$ истинна, а следствие $B$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

В нашем случае посылкой является предикат $P(x)$. Как было установлено в пункте 1, $P(x)$ всегда ложен для любого $x \in R$. Поскольку посылка импликации всегда ложна, вся импликация $P(x) \Rightarrow S(x)$ будет всегда истинной, независимо от истинности следствия $S(x)$. Этот принцип в логике известен как "из лжи следует всё что угодно".

Так как предикат $P(x) \Rightarrow S(x)$ истинен для любого действительного числа $x$, его областью истинности является всё множество действительных чисел $R$.

Ответ: $R$.

4.7. На множестве R заданы предикаты $P(x) \equiv \{x > 2\}$, $Q(x) \equiv \{x > 5\}$.

Укажите область истинности предиката: 1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$; 2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

На множестве действительных чисел $\mathbb{R}$ заданы два предиката: $P(x) \equiv \{x > 2\}$, область истинности которого — множество $T_P = (2, +\infty)$. $Q(x) \equiv \{x > 5\}$, область истинности которого — множество $T_Q = (5, +\infty)$.

Областью истинности сложного предиката, построенного с помощью логической операции импликации ($A \Rightarrow B$), является множество всех значений переменной $x$, при которых этот предикат обращается в истинное высказывание. Импликация $A \Rightarrow B$ ложна только в том случае, когда посылка $A$ истинна, а заключение $B$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна.

Также можно использовать логическую эквивалентность: $A \Rightarrow B \equiv \neg A \lor B$. Область истинности для дизъюнкции ($\lor$) является объединением областей истинности её составляющих.

Чтобы найти область истинности предиката $P(x) \Rightarrow Q(x)$, определим, при каких значениях $x$ он является истинным.

Способ 1: через эквивалентную формулу.
Предикат $P(x) \Rightarrow Q(x)$ эквивалентен $\neg P(x) \lor Q(x)$.
1. Найдём область истинности для $\neg P(x)$. Предикат $P(x)$ — это "$x > 2$". Его отрицание $\neg P(x)$ — это "$x \le 2$". Область истинности для $\neg P(x)$ есть множество $(-\infty, 2]$.
2. Область истинности для $Q(x)$ нам дана: $(5, +\infty)$.
3. Область истинности для $\neg P(x) \lor Q(x)$ является объединением областей истинности $\neg P(x)$ и $Q(x)$.
Таким образом, искомое множество: $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$.

Способ 2: через определение ложности импликации.
Импликация $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложна тогда и только тогда, когда $P(x)$ истинно, а $Q(x)$ ложно.
1. $P(x)$ истинно при $x > 2$.
2. $Q(x)$ ложно при $x \le 5$.
Оба условия должны выполняться одновременно: $x > 2$ и $x \le 5$. Это соответствует интервалу $(2, 5]$.
Следовательно, предикат $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложен на интервале $(2, 5]$ и истинен на всём остальном множестве действительных чисел $\mathbb{R}$.
Область истинности: $\mathbb{R} \setminus (2, 5]$, что равно $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$

Теперь найдём область истинности для предиката $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

Способ 1: через эквивалентную формулу.
Предикат $Q(x) \Rightarrow P(x)$ эквивалентен $\neg Q(x) \lor P(x)$.
1. Найдём область истинности для $\neg Q(x)$. Предикат $Q(x)$ — это "$x > 5$". Его отрицание $\neg Q(x)$ — это "$x \le 5$". Область истинности для $\neg Q(x)$ есть множество $(-\infty, 5]$.
2. Область истинности для $P(x)$ нам дана: $(2, +\infty)$.
3. Область истинности для $\neg Q(x) \lor P(x)$ является объединением областей истинности $\neg Q(x)$ и $P(x)$.
Искомое множество: $(-\infty, 5] \cup (2, +\infty)$. Это объединение покрывает всю числовую прямую, то есть равно множеству всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Способ 2: через определение ложности импликации.
Импликация $Q(x) \Rightarrow P(x)$ ложна тогда и только тогда, когда $Q(x)$ истинно, а $P(x)$ ложно.
1. $Q(x)$ истинно при $x > 5$.
2. $P(x)$ ложно при $x \le 2$.
Нужно найти такие $x$, которые удовлетворяют обоим условиям: $x > 5$ и $x \le 2$. Таких чисел не существует, поскольку эти два условия несовместны (пересечение множеств $\{x | x>5\}$ и $\{x | x \le 2\}$ пусто).
Это означает, что предикат $Q(x) \Rightarrow P(x)$ никогда не бывает ложным. Следовательно, он истинен для любого действительного числа $x$.

Ответ: $\mathbb{R}$ (или $(-\infty, +\infty)$)

4.8. На множестве $R$ заданы предикаты $P(x) \equiv \{x \ge 2\}$, $Q(x) \equiv \{x < 5\}$.

Укажите область истинности предиката: 1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$; 2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

На множестве действительных чисел $R$ заданы предикаты:

• $P(x) \equiv \{x \ge 2\}$, область истинности которого $T_P = [2, +\infty)$.
• $Q(x) \equiv \{x < 5\}$, область истинности которого $T_Q = (-\infty, 5)$.

Областью истинности импликации $A(x) \Rightarrow B(x)$ является множество всех значений $x$, для которых высказывание $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно. Импликация $A \Rightarrow B$ ложна только в одном случае: когда посылка $A$ истинна, а следствие $B$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Логически импликация эквивалентна дизъюнкции $\neg A \lor B$.

Таким образом, область истинности предиката $A(x) \Rightarrow B(x)$ можно найти как объединение области истинности предиката $\neg A(x)$ и области истинности предиката $B(x)$.

1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$

Область истинности этого предиката соответствует множеству $T_{\neg P \lor Q} = T_{\neg P} \cup T_Q$.

Сначала найдем область истинности предиката $\neg P(x)$. Предикат $P(x)$ истинен при $x \ge 2$, следовательно, предикат $\neg P(x)$ (отрицание $P(x)$) истинен при $x < 2$. Таким образом, область истинности $\neg P(x)$ есть $T_{\neg P} = (-\infty, 2)$.

Теперь найдем объединение областей истинности $T_{\neg P}$ и $T_Q$:

$T_{P \Rightarrow Q} = T_{\neg P} \cup T_Q = (-\infty, 2) \cup (-\infty, 5) = (-\infty, 5)$.

Альтернативный способ: Импликация $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложна, только когда $P(x)$ истинно, а $Q(x)$ ложно.
$P(x)$ истинно при $x \in [2, +\infty)$.
$Q(x)$ ложно при $x \ge 5$.
Следовательно, импликация ложна на пересечении этих множеств: $x \in [2, +\infty) \cap [5, +\infty) = [5, +\infty)$.
Область истинности — это все действительные числа, за исключением множества, где импликация ложна. То есть, $R \setminus [5, +\infty) = (-\infty, 5)$.

Ответ: $(-\infty, 5)$.

2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$

Область истинности этого предиката соответствует множеству $T_{\neg Q \lor P} = T_{\neg Q} \cup T_P$.

Сначала найдем область истинности предиката $\neg Q(x)$. Предикат $Q(x)$ истинен при $x < 5$, следовательно, предикат $\neg Q(x)$ истинен при $x \ge 5$. Таким образом, область истинности $\neg Q(x)$ есть $T_{\neg Q} = [5, +\infty)$.

Теперь найдем объединение областей истинности $T_{\neg Q}$ и $T_P$:

$T_{Q \Rightarrow P} = T_{\neg Q} \cup T_P = [5, +\infty) \cup [2, +\infty) = [2, +\infty)$.

Альтернативный способ: Импликация $Q(x) \Rightarrow P(x)$ ложна, только когда $Q(x)$ истинно, а $P(x)$ ложно.
$Q(x)$ истинно при $x \in (-\infty, 5)$.
$P(x)$ ложно при $x < 2$.
Следовательно, импликация ложна на пересечении этих множеств: $x \in (-\infty, 5) \cap (-\infty, 2) = (-\infty, 2)$.
Область истинности — это все действительные числа, за исключением множества, где импликация ложна. То есть, $R \setminus (-\infty, 2) = [2, +\infty)$.

Ответ: $[2, +\infty)$.