Номер 4.8, страница 39 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.8. На множестве $R$ заданы предикаты $P(x) \equiv \{x \ge 2\}$, $Q(x) \equiv \{x < 5\}$.

Укажите область истинности предиката: 1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$; 2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$.

На множестве действительных чисел $R$ заданы предикаты:

• $P(x) \equiv \{x \ge 2\}$, область истинности которого $T_P = [2, +\infty)$.
• $Q(x) \equiv \{x < 5\}$, область истинности которого $T_Q = (-\infty, 5)$.

Областью истинности импликации $A(x) \Rightarrow B(x)$ является множество всех значений $x$, для которых высказывание $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно. Импликация $A \Rightarrow B$ ложна только в одном случае: когда посылка $A$ истинна, а следствие $B$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Логически импликация эквивалентна дизъюнкции $\neg A \lor B$.

Таким образом, область истинности предиката $A(x) \Rightarrow B(x)$ можно найти как объединение области истинности предиката $\neg A(x)$ и области истинности предиката $B(x)$.

1) $P(x) \Rightarrow Q(x)$

Область истинности этого предиката соответствует множеству $T_{\neg P \lor Q} = T_{\neg P} \cup T_Q$.

Сначала найдем область истинности предиката $\neg P(x)$. Предикат $P(x)$ истинен при $x \ge 2$, следовательно, предикат $\neg P(x)$ (отрицание $P(x)$) истинен при $x < 2$. Таким образом, область истинности $\neg P(x)$ есть $T_{\neg P} = (-\infty, 2)$.

Теперь найдем объединение областей истинности $T_{\neg P}$ и $T_Q$:

$T_{P \Rightarrow Q} = T_{\neg P} \cup T_Q = (-\infty, 2) \cup (-\infty, 5) = (-\infty, 5)$.

Альтернативный способ: Импликация $P(x) \Rightarrow Q(x)$ ложна, только когда $P(x)$ истинно, а $Q(x)$ ложно.
$P(x)$ истинно при $x \in [2, +\infty)$.
$Q(x)$ ложно при $x \ge 5$.
Следовательно, импликация ложна на пересечении этих множеств: $x \in [2, +\infty) \cap [5, +\infty) = [5, +\infty)$.
Область истинности — это все действительные числа, за исключением множества, где импликация ложна. То есть, $R \setminus [5, +\infty) = (-\infty, 5)$.

Ответ: $(-\infty, 5)$.

2) $Q(x) \Rightarrow P(x)$

Область истинности этого предиката соответствует множеству $T_{\neg Q \lor P} = T_{\neg Q} \cup T_P$.

Сначала найдем область истинности предиката $\neg Q(x)$. Предикат $Q(x)$ истинен при $x < 5$, следовательно, предикат $\neg Q(x)$ истинен при $x \ge 5$. Таким образом, область истинности $\neg Q(x)$ есть $T_{\neg Q} = [5, +\infty)$.

Теперь найдем объединение областей истинности $T_{\neg Q}$ и $T_P$:

$T_{Q \Rightarrow P} = T_{\neg Q} \cup T_P = [5, +\infty) \cup [2, +\infty) = [2, +\infty)$.

Альтернативный способ: Импликация $Q(x) \Rightarrow P(x)$ ложна, только когда $Q(x)$ истинно, а $P(x)$ ложно.
$Q(x)$ истинно при $x \in (-\infty, 5)$.
$P(x)$ ложно при $x < 2$.
Следовательно, импликация ложна на пересечении этих множеств: $x \in (-\infty, 5) \cap (-\infty, 2) = (-\infty, 2)$.
Область истинности — это все действительные числа, за исключением множества, где импликация ложна. То есть, $R \setminus (-\infty, 2) = [2, +\infty)$.

Ответ: $[2, +\infty)$.