Номер 4.9, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4.9. Множества $A$ и $B$ — области истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, заданных на множестве $M$ (рис. 4.2). Заштрихуйте область истинности предиката:

1) $A(x) \wedge B(x)$;

2) $A(x) \vee B(x)$;

3) $A(x) \Rightarrow B(x)$.

а

б

в

г

Рис. 4.2

Область истинности предиката представляет собой множество всех элементов $x$ из универсального множества $M$, для которых предикат является истинным. Логическим операциям над предикатами соответствуют операции над их областями истинности (множествами). Рассмотрим каждый случай для четырех представленных диаграмм.

Предикат $A(x) \land B(x)$ (конъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинны оба предиката: и $A(x)$, и $B(x)$. Область истинности этого предиката соответствует пересечению областей истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, то есть пересечению множеств $A$ и $B$. Математически это выражается как $A \cap B$.

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются, то есть $A \cap B = \emptyset$. Заштрихованной области нет.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Заштриховать нужно их общую часть (область пересечения).
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). Их пересечением является само множество $A$, то есть $A \cap B = A$. Нужно заштриховать всё множество $A$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Их пересечением является само множество $B$, то есть $A \cap B = B$. Нужно заштриховать всё множество $B$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует пересечению множеств $A \cap B$.

Предикат $A(x) \lor B(x)$ (дизъюнкция) истинен тогда и только тогда, когда истинен хотя бы один из предикатов: $A(x)$ или $B(x)$ (или оба сразу). Область истинности этого предиката соответствует объединению областей истинности предикатов $A(x)$ и $B(x)$, то есть объединению множеств $A$ и $B$. Математически это выражается как $A \cup B$.

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются. Заштриховать нужно оба множества $A$ и $B$ полностью.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Заштриховать нужно всю область, занимаемую обоими множествами, включая их пересечение.
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). Их объединением является множество $B$, то есть $A \cup B = B$. Нужно заштриховать всё множество $B$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Их объединением является множество $A$, то есть $A \cup B = A$. Нужно заштриховать всё множество $A$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует объединению множеств $A \cup B$.

Предикат $A(x) \Rightarrow B(x)$ (импликация) ложен только в одном случае: когда $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Во всех остальных случаях импликация истинна. Импликация $A(x) \Rightarrow B(x)$ эквивалентна выражению $\neg A(x) \lor B(x)$. Область истинности этого предиката соответствует объединению дополнения множества $A$ и множества $B$. Математически это выражается как $(M \setminus A) \cup B$. Эта область включает в себя всё, что не входит в $A$, плюс всё, что входит в $B$. Иначе говоря, нужно заштриховать всё, кроме той части $A$, которая не принадлежит $B$ (т.е. кроме разности $A \setminus B$).

• а) Множества $A$ и $B$ не пересекаются. Разность $A \setminus B$ равна самому множеству $A$. Следовательно, нужно заштриховать всё универсальное множество $M$, за исключением множества $A$.
• б) Множества $A$ и $B$ пересекаются. Разность $A \setminus B$ — это та часть множества $A$, которая не пересекается с $B$. Нужно заштриховать всё множество $M$, за исключением этой части.
• в) Множество $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$). В этом случае разность $A \setminus B = \emptyset$. Областью истинности будет $M \setminus \emptyset = M$. Нужно заштриховать всё универсальное множество $M$.
• г) Множество $B$ является подмножеством $A$ ($B \subset A$). Разность $A \setminus B$ — это область множества $A$, не включающая в себя множество $B$ (форма "кольца"). Нужно заштриховать всё множество $M$, за исключением этой области. То есть заштрихованным окажется множество $B$ и область вне множества $A$.

Ответ: Заштрихованная область соответствует множеству $(M \setminus A) \cup B$ или, что то же самое, $M \setminus (A \setminus B)$.